Verknüpfungsvorschrift, Addition, Gruppen

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balance Auf diesen Beitrag antworten »
Verknüpfungsvorschrift, Addition, Gruppen
Also, ich repetier gerade Lineare Algebra bz. algebraische Strukturen.

Man hat ja z.B.:

Abelsche Gruppe: (A, +)
Körper: (A, +, *)
Vektorraum: (V,+,*) - Hier ist ja der Körper über die Addition drin.

Hier habe ich ja überall die Addition angegeben. Nun haben alle diese alge. Struk. diverse Axiome die erfüllt sein müssen.

Mein Buhc beschreibt z.B. die abelsche Gruppe wie folgt:

Eine abelsche Gruppe ist ein Paar (A, +) bestehend aus einer Menge A und einer Verknüpfung , so dass gilt:
i)
ii)
iii)
iv)

Bei den anderen Strukturen, sähe es genau gleich aus. Man nimmt einfach die Axiome der definierten Verknüpfungen zusammen.

Liegt dem noch irgendwas zugrunde? Ich meine, man versteht intuitiv dass es eine Verknüpfung ist mit Regeln etc. aber irgenwie fehlt mir der mathematische Durchblick. Ich weis nicht genau, wie ich mich erklären soll, ich bin einfach unzufrieden mit meinem Verständnis hier.

Was genau versteht man unter dieser Verknüpfung? Könnte ich sagen, dass: +(1,2)=3?, im Stil von f(x,y)=x+y? also (a,b) -> a+b Falls ja, wenn ich dann schreibe, 1+2, wie genau springt hier den meine Verknüpfung ein?

Ich hoffe, man versteht in etwa, was ich will. smile
mYthos Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest dich von dem Begriff Addition lösen, die "Addition" kann nämlich alles Mögliche sein, z.B auch eine Subtraktion oder andere Operationsvorschriften, es ist gemeinhin einfach eine Verknüpfungsvorschrift.
Deshalb schreibt man anstatt des + lieber ein allgemeines Symbol für die Verknüpfung, also z.B.

a o b, sprich a verknüpft mit b; unter dem "o" ist dann eine (beliebige) Verknüpfungsvorschrift zu verstehen.

Es kann also durchaus etwa gegeben sein:



Untersuche auf Gruppeneigenschaften!

Beachte: Links steht das Verknüpfungssymbol (nicht Addition!), jedoch ist hier das + rechts in der Vorschrift in der Tat die "echte" Addition, also der Summenoperator!
Die Verknüpfungsvorschrift kann allerdings durchaus auch andere Dinge enthalten, es muss dort auch keine Addition stehen.
Z.B. kann es sich um Kongruenzabbildungen (Spiegelungen, Drehungen) oder Restklassenoperationen handeln.

Bemerkung:
Für eine Gruppe (jede Gruppe!) muss noch eine Bedingung zutreffen:
Es gilt die Abgeschlossenheit (diese reiht man meist an die 1. Stelle, weil dies für alle Gruppen zutreffen muss), d.h. die Menge ist gegenüber der Verknüpfung abgeschlossen:
Die bei der Verknüpfung entstehenden neuen Elemente sind wiederum Elemente der Menge.
Im Gegensatz dazu ist z.B. N gegen die Subtraktion nicht abgeschlossen, desgleichen Z nicht gegen die Division.

Bei einer Gruppe schlechthin muss das Kommutativgesetz nicht gelten.
Kommt es als Punkt V) hinzu, dann ist es erst eine Abel'sche Gruppe.

mY+
balance Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, mir sind die allgemeinen Definitionen mit Verknüpfungszeichen durchaus bekannt. Ich versuceh nur gerade, das Thema algebraische Strukturen richtig gut zu verstehen. Die Addition war eher als Beispiel gewählt.

Hmm, ich glaube ich muss einfach über einstellige, zweistellige Verknüpfungen lesen, dass ist wohl die Richtung in die sich meine Frage bewegt. Dann passt das schon. Danke
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