Bilineare Abbildung mit Eigenschaften

22.01.2015, 20:43	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilineare Abbildung mit Eigenschaften Meine Frage: Hallo, es seien V und W endlich dimensionale Vektorräume über Körper K sowie $\begin{eqnarray} b : V x W -> K \end{eqnarray}$ eine bilineare Abbildung mit folgenden Eigenschaften: Ist $\begin{eqnarray} v \in V \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} \forall w \in W b(v,w) = 0 \end{eqnarray}$ gilt, so ist $\begin{eqnarray} v = 0 \end{eqnarray}$ . Ist $\begin{eqnarray} w \in W \end{eqnarray}$ derart, dass $\begin{eqnarray} \forall v \in V b(v,w) = 0 \end{eqnarray}$ , so ist $\begin{eqnarray} w = 0 \end{eqnarray}$ . Man zeige, dass $\begin{eqnarray} dim W = dim V \end{eqnarray}$ gilt. Meine Ideen: Wenn die Bilinearform die Eigenschaft besitzt, dass b(v,w) = 0 für alle v aus V und ein vorgegebenes w aus W, dann sind diese Vektoren doch orthogonal bzgl. dieser Bilinearform. Aber wie soll ich diese Eigenschaft dazu verwenden, um die gleiche Dimension dieser Räume zu beweisen??? Viele Grüße Widderchen
25.01.2015, 14:24	Widderchen	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also wenn die Bilinearform doch diese Eigenschaft besitzt, dann besteht der Ausartungsraum nur aus dem Nullvektor, oder irre ich mich? Dann ist diese Bilinearform per definitionem nicht ausgeartet. Nun haben wir den folgenden Satz in der Vorlesung bewiesen. Es sei b eine nicht ausgeartete (anti-) symmetrische Bilinearform auf V sowie U und W Unterräume von V, V endl. dimensional. Dann gilt $\begin{eqnarray} dim W + dim W^{otho.} = dim V \end{eqnarray}$ wobei W(ortho) das orthogonale Komplement von W sein soll (zumindest denke ich das!). Kann ich irgendwie unter Verwendung dieses Satzes die Aussage beweisen?? Viele Grümde Widderchen
25.01.2015, 14:37	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Betrachte die Abbildung $\begin{align} V \to W^, v \mapsto [w \mapsto b(v,w)] \end{align*}$ . Nach Voraussetzung (Drüber nachdenken!) ist sie injektiv, folglich erhältst du schonmal eine Ungleichung zwischen den Dimensionen von V und W. Wie du dann auch noch die umgekehrte Ungleichung bekommst, sollte eigentlich klar sein.
25.01.2015, 14:42	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Eher nicht, weil eine Bilinearform auf V vorausgesetzt ist, was hier nicht der Fall ist. Du könntest dich an dem orientieren, was tmo hier geschrieben hat und die Abbildung $\begin{eqnarray} V\to W^=Hom(W,K), v\mapsto b(v,\cdot) \end{eqnarray}$ betrachten. Sie ist linear und injektiv (warum) und damit ist $\begin{eqnarray} \dim(V)\leq \dim(W^)=\dim(W) \end{eqnarray}$ Edit: Zu lange nicht aktualisiert und wieder weg

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