Äquivalenz- klassen, -relation

Neue Frage »

Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenz- klassen, -relation
Meine Frage:
Hallo,

es sei b eine symmetrische Bilinearform der Signatur auf einem Vektorraum V und .

Beweisen sie folgende Aussagen:

1) Durch wird eine Äquivalenzrelation auf C definiert.

2) Es gibt genau zwei Äquivalenzklassen, und diese werden durch Multiplikation mit - 1 vertauscht.

3) Jede Äquivalenzklasse ist abgeschlossen unter Multiplikation mit positiven reellen Zahlen sowie unter Addition.

Meine Ideen:
Zu 1) wurde der folgende Hinweis gegeben: "Um die Transitivität der Relation zu beweisen, muss die Cauchy-Schwarz-Ungleichung auf das Orthogonalkomplement des mittleren Vektors angewendet werden."

Zu 3) wird ebenfalls ein Hinweis genannt: "Wende die Dreiecksungleichung auf das Orthogonalkomplement eines Vektors aus C an."

Also, ich denke die Reflexivität folgt doch unmittelbar aus der Definition von C, da nach Voraussetzung, oder??
Und die Symmetrie dieser Relation folgt doch aus der Bedingung, dass b eine symmetrische Bilinearform ist, also und damit , oder übersehe ich etwas??
Für den Beweis der Transitivität soll ich gemäß Hinweis die Cauchy-Schwarz-Ungl. verwenden, aber ich weiß nicht wie und was ist mit dem "Orthogonalkomplement des mittleren Vektors" gemeint??

Zu den Aufgabenteilen 2) und 3) kann ich leider nichts sagen. Wie bestimme ich die Äquivalenzklassen und wie kann man darauf operieren??
Und was bedeutet der Signaturbegriff überhaupt?



Viele Grüße
Widderchen
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich habe über den Signaturbegriff herausgefunden, dass er mit dem sogenannten Silvesterschen Trägheitssatz zusammenhängt (den wir in der Vorlesung allerdings noch nicht behandelt hatten). Der Silvestersche Satz besagt, dass ein C-Vektorraum in eine direkte Summe, bestehend aus dem Ausartungsraum und zweier weiterer Räume dargestellt werden kann.
Daraus kann die darstellende Matrix der hermiteschen Sesquilinearform (in der Aufgabenstellung liegt allerdings nur eine symmetrische Bilinearform vor) bzgl. einer Basis die folgende Gestalt haben:



Daraus resultiert der Signaturbegriff (1 , n , 0 ) für die von b darstellende Matrix A. A ist also bzgl. dieser basis eine Diagonalmatrix mit den Diagonaleinträgen 1 , n , 0 und zwar in dieser Reihenfolge.

Allerdings weiß ich nicht, wie ich an dieser Stelle fortsetzen soll. Außerdem kann ich die Transitivität nicht nachweisen.

Ich hoffe, jemand kann mir bei diesen Problemen behilflich sein.

Viele Grüße
Widderchen
Widderchen Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

also die Reflexivität und Symmetrie der Relation auf C habe ich gezeigt. Nun zur Transitivität: Zeige also:

Für .

Ich soll also zeigen, dass aus
folgt.

Die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, die in der Vorlesung bewiesen wurde, lautet:

Sei b eine symmetrische Bilinearform. Definiere die Norm bzgl. b . Dann gilt die Bunjakowski-Cauchy-Schwarz-Ungleichung:

. Als Folgerung ergab sich daraus

.

Nun soll ich das Orthogonalkomplement des mittleren Vektors bilden (???) . Sei der mittlere Vektor gegeben durch . Dann existiert das orthogonale Komplement, sagen wir ein Vektor , sodass

. Daraus erhalte ich unter Verwendung der Bilinearität von b: ?????

Das hilft mir nicht weiter. Auch wenn ich die Cauchy-Schwarz-Gleichung auf diesen "mittleren Vektor" anwende, erhalte ich kein sinnvolles Resultat.

Kann mir irgendjemand behilflich sein?

Viele Grüße
Widderchen
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »