Frage zu Beschränktheit

22.01.2015, 22:34

Philosopher

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Frage zu Beschränktheit

Hallo Mathegurus,

mal ne ganz blöde Frage:

Ist die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+\frac{1}{x})^x \end{eqnarray*}$ beschränkt?

Offensichtlich ist die Funktion für x=0 nicht definiert und hat damit eine Unstetigkeitsstelle. Aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ divergieren. Ist das Randverhalten hinreichend für Unbeschränktheit? Und wenn nein, was fange ich mit dieser Definitionslücke an?

Vielen Dank

22.01.2015, 22:58

Philosopher

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RE: Frage zu Beschränktheit
Augenblick!

Ist ja quatsch...

Zitat:

Original von Philosopher
Aber $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x) \end{eqnarray*}$ divergieren.

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$

Hat sich erledigt unglücklich

unglücklich

Sorry!

22.01.2015, 23:06

Guppi12

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Hallo,

zunächst mal gehört zu einer Funktion immer auch Definitions- und Wertebereich. Was sollen diese hier sein?

Zitat:

Offensichtlich ist die Funktion für x=0 nicht definiert und hat damit eine Unstetigkeitsstelle.

Das schließt sich gegenseitig aus. Entweder sie ist dort nicht definiert (dafür solltest du eben mal einen Definitionsbereich angeben), dann kann sie dort aber auch nicht unstetig sein. Du sagst ja schließlich auch nicht, dass die Funktion unstetig in $\begin{eqnarray*} 1+2i \end{eqnarray*}$ ist. Oder die Funktion ist in $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ unstetig, dafür müsstest du sie aber dort erstmal definieren.

Zitat:

Es ist ja $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}f(x)=1 \end{eqnarray*}$

Das ist beides falsch. Siehst du hier nicht gewisse Parallelen zur Zahl $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2015, 23:15

Philosopher

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Vielen Dank für deine Antwort!

Also Teil der Aufgabe ist es, den größtmöglichen Definitionsbereich anzugeben. Den würde ich hier mit $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus\{0\} \end{eqnarray*}$ angeben.

Ich verstehe dein Argument, dass etwas an einer undefinierten Stelle nicht unstetig sein kann. Logisch!

Ich weiß leider nicht worauf du mit dem epsilon hinaus möchtest unglücklich

unglücklich

Ich dachte eigentlich, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}\frac{1}{x}=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x}=0 \end{eqnarray*}$ und somit $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=1 \end{eqnarray*}$ und dasselbe für minus unendlich.

Was hab ich hier missverstanden?

edit: oh, du hast e geschrieben nicht epsilon.

Lass mich noch kurz nachdenken!

22.01.2015, 23:29

Philosopher

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Ja, klar ist da ne Parallele.

$\begin{eqnarray*} \exp(z)=\lim_{n \to \infty}(1+\frac{z}{n})^n \end{eqnarray*}$

Demnach ist der Grenzwert von $\begin{eqnarray*} f(x)=(1+\frac{1}{x})^x \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} \exp(1) \end{eqnarray*}$

Oder könnte es sein, dass hier $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und es nicht dasselbe ist?

22.01.2015, 23:35

Guppi12

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Ja, das ist richtig.

Zitat:

Oder könnte es sein, dass hier $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und es nicht dasselbe ist?

Prinzipiell ist das nicht das selbe. Klar ist aber, dass, wenn der Funktionengrenzwert überhaupt existiert, dass er dann gleich $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ sein muss. Dafür hilft die Folgencharakterisierung von Grenzwerten.

Machen wir uns aber erstmal Gedanken um den maximalen Definitionsbereich. (Aus meiner Sicht eine ziemlich blöde Frage. Ich bin mir ziemlich sicher, dass ich einen größeren Definitionsbereich, als den wahrscheinlich erwarteteten angeben könnte.)

Was gilt denn prinzipiell für Potenzen mit reellen Exponenten. Darf die Basis da beliebig sein oder gibt es Einschränkungen?

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22.01.2015, 23:39

Philosopher

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Die Basis muss größer 0 sein, richtig?

22.01.2015, 23:41

Guppi12

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$\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ selbst ist auch erlaubt, solange dann der Exponent nicht $\begin{eqnarray*} \leq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Was bedeutet das für uns?

22.01.2015, 23:49

Philosopher

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Naja, dass unsere Funktion keinen Definitionsbereich hat, falls $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})<0 \end{eqnarray*}$

Das bedeutet, dass der Definitionsbereich nicht nur 0 ausschließt, sonder alle x für die gilt -1<x<0.

Right? smile

smile

Wie notiere ich so einen Definitionsbereich? $\begin{eqnarray*} \mathbb R\setminus[-1,0] \end{eqnarray*}$ ?

22.01.2015, 23:51

Guppi12

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Richtig, bis auf die zweite Zeile, wo das erste $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ sein muss.

Schau dir vielleicht als nächstes mal an, wie sich die Funktion für $\begin{eqnarray*} x\to -1 \end{eqnarray*}$ verhält.

Edit: das zweite $\begin{eqnarray*} < \end{eqnarray*}$ natürlich auch, aber $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ hattest du ja vorher schon ausgeschlossen.

22.01.2015, 23:56

Philosopher

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Erst mal vielen Dank bis hier her. Du bist echt ne große Hilfe Freude

Freude

Hier gilt $\begin{eqnarray*} f(-1)=(1+\frac{1}{-1})^{-1}=0^{-1}=\frac{1}{0} \end{eqnarray*}$

Also ist x bei -1 auch nicht definiert.

23.01.2015, 00:20

Guppi12

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Ja, schon, aber das hast du bei der Angabe deines Definitionsbereichs ja schon beachtet.

Was aber macht $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , wenn sich $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ von links an $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ nähert?

23.01.2015, 00:34

Philosopher

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Sie wächst exponentiell, würde ich jetzt ganz intuitiv sagen. Was hat das für eine Auswirkung auf den Def-Bereich?

23.01.2015, 00:39

Guppi12

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garnichts, mit dem sind wir fertig. Aber du willst doch herausfinden, ob f beschränkt ist.

23.01.2015, 00:41

Philosopher

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Okay!

Das heißt, dass der Grenzwert in der Unenddlichkeit =e ist, sagt noch nichts über die Beschränktheit aus?

edit

Wenn ich das richtig sehe ist also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ also ist die Funktion zumindest nach oben nicht beschränkt.

23.01.2015, 00:45

Guppi12

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Doch, aber das wäre nur ein Punkt von vielen, den man für Beschränktheit prüfen muss. Man sollte sich eben das Verhalten von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ an allen Rändern des Definitionsbereichs anschauen. Und dazu gehört auch $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ .

23.01.2015, 00:54

Philosopher

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Richtig das sind ja auch Ränder! Das war mir gar nicht bewusst.

Zitat:

Original von Philosopher

Wenn ich das richtig sehe ist also $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to -1} f(x)=\infty \end{eqnarray*}$ also ist die Funktion zumindest nach oben nicht beschränkt.

Und für $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} f(x)=1 \end{eqnarray*}$

Demnach ist die Funktion nach unten beschränkt.

23.01.2015, 00:57

Guppi12

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Dein Ergebnis ist richtig. Inwieweit du das begründen musst, kann ich nicht einschätzen. Das müsstest du selbst wissen.

Warum Beschränktheit nach unten vorliegt, müsste man noch etwas präziser begründen.
Was ist zum Beispiel der Limes für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ und wenn der auch endlich ist, wieso folgt daraus Beschränktheit nach unten?

Im übrigen würde für das beantworten der Fragestellung bereits reichen, dass f nicht nach oben beschränkt ist, denn beschränkt heißt nach unten und nach oben beschränkt. Diese Frage kann man also klar mit "nein" beantworten.

23.01.2015, 01:04

Philosopher

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Zitat:

Original von Guppi12

Im übrigen würde für das beantworten der Fragestellung bereits reichen, dass f nicht nach oben beschränkt ist

Gut, dann ist die Frage nach Beschränktheit ja beantwortet smile

smile

Vielen vielen Dank! Gott

Gott

Es gab noch die Frage, ob es Nullstellen gibt. Da hab ich nen recht "primitiven" Beweis. Vielleicht würdest du dir den auch noch kurz ansehen?

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})^x=0 \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{x-1}=0 \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{x-2}=0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{0}=0 \Leftrightarrow 1=0 \Rightarrow Widerspruch \Rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen

23.01.2015, 01:09

Guppi12

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})^x=0 \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{x-1}=0 \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{x-2}=0 \Leftrightarrow ... \Leftrightarrow (1+\frac{1}{x})^{0}=0 \Leftrightarrow 1=0 \Rightarrow Widerspruch \Rightarrow f(x) \end{eqnarray*}$ hat keine Nullstellen

Das sieht irgendwie so aus, als würdest du $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb N \end{eqnarray*}$ voraussetzen. Außerdem gelten deine Umformungen nicht, falls $\begin{eqnarray*} (1+1/x) = 0 \end{eqnarray*}$ . Kannst du das auch anders begründen?

23.01.2015, 01:17

Philosopher

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Ich könnte mir halt vorstellen, mit dem Verhalten der Funktion zu Argumentieren. Dafür müsste ich die Grenzwerte an allen Rändern berechnen und dann zeigen, dass die Funktion monoton wächst (was aber wohl nicht der Fall ist, wenn ich mir den Sprung von $\begin{eqnarray*} -1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ansehe)

edit: Aber vielleicht mit abschnittsweiser Monotonie? verwirrt

verwirrt

23.01.2015, 01:37

Guppi12

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Wann ist denn eine Potenz Null. Das geht nur, wenn...

23.01.2015, 01:43

Philosopher

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...die Basis 0 ist, klar!

Also ist $\begin{eqnarray*} (1+\frac{1}{x})^x=0 \Leftrightarrow 1+\frac{1}{x}=0 \Leftrightarrow 1=-\frac{1}{x} \Leftrightarrow x=-1 \end{eqnarray*}$

Und da -1 nicht im Definitionsbereich liegt, gibt es keine Nullstelle. smile

smile

23.01.2015, 20:51

Philosopher

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Ich wollte nur noch mal herzlichen Dank sagen. Du hast mir bei meinen Übungsaufgaben, auch für die folgenden, sehr geholfen!

23.01.2015, 21:14

Guppi12

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Sehr gerne. Freut mich, wenn es dich weitergebracht hat smile

smile

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