Zusammenhang von cos x und sin x zeigen

24.01.2015, 11:49

Rivago

Zusammenhang von cos x und sin x zeigen

Moin

In der Vorlesung haben Sie gesehen, dass dank der komplexen Zahlen folgende Zusammenhänge bestehen:

$\begin{eqnarray*} cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \end{eqnarray*}$

Zeigen Sie hiermit folgenden Zusammenhang;

$\begin{eqnarray*} 3sin x - 4sin^3x = sin(3x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \cdot \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right) - 4 \cdot \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right)^3 = \left(\frac{e^{i3x} - e^{-i3x}}{2i}\right) \end{eqnarray*}$

Dann weiß ich dass $\begin{eqnarray*} (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{eqnarray*}$

Und bei Brüchen ist es so $\begin{eqnarray*} \left(\frac{a}{b}\right)^3 = \frac{a^3}{b^3} \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} a = e^{ix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = (-1) \cdot e^{-ix} = -e^{-ix} \end{eqnarray*}$

Hier meine erste Frage: Wieso ist b nicht 2i???

$\begin{eqnarray*} = 3 \cdot \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right) - 4 \cdot \left(\frac{e^{i3x} - (3e^{-ix} \cdot e^{-ix}) - (3e^{ix} \cdot e^{-i2x}) - e^{-i3x}}{(2i)^3 = 8i}\right) \end{eqnarray*}$

Erstmal bis hier hin. Stimmt das soweit?

24.01.2015, 12:21

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RE: Zusammenhang von cos x und sin x zeigen

Zitat:

Hier meine erste Frage: Wieso ist b nicht 2i???

Weil du es so benannt hast???
Wenn ich das recht sehe, sind die beiden mittleren Terme im Zähler falsch

Zitat:

$\begin{eqnarray*} = 4 \cdot \left(\frac{e^{i3x} - (3e^{-ix} \cdot e^{-ix}) - (3e^{ix} \cdot e^{-i2x}) - e^{-i3x}}{(2i)^3 = 8i}\right) \end{eqnarray*}$

24.01.2015, 12:26

zyko

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RE: Zusammenhang von cos x und sin x zeigen
$\begin{eqnarray*} = 3 \cdot \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right) - 4 \cdot \left(\frac{e^{i3x} - (3e^{{\color{red}{+2}}{ix}} \cdot e^{-ix}) {\color{red}{+}}(3e^{ix} \cdot e^{-i2x}) - e^{-i3x}}{(2i)^3 = {\color{red}{-}}8i}\right) \end{eqnarray*}$

Bitte die Formeln überprüfen.
Dann Vereinfachen und Zusammenfassen.

24.01.2015, 12:26

Rivago

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Unser Dozent hat das so benannt, nicht ich Augenzwinkern

Könnte man b auch als 2i annehmen? Wenn ja, was passiert dann mit dem $\begin{eqnarray*} -e^{-ix} \end{eqnarray*}$ ??

24.01.2015, 12:32

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Konseqenterweise müsstest du auch fragen, warum $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ nicht $\begin{eqnarray*} e^{ix}-e^{-ix} \end{eqnarray*}$ ist geschockt

Ist dir nicht die Idee gekommen, dass sich

Zitat:

Somit ist $\begin{eqnarray*} a = e^{ix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b = (-1) \cdot e^{-ix} = -e^{-ix} \end{eqnarray*}$

auf
$\begin{eqnarray*} (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{eqnarray*}$
beziehen könnte?

24.01.2015, 12:40

Rivago

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RE: Zusammenhang von cos x und sin x zeigen
$\begin{eqnarray*} = 3 \cdot \left(\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}\right) - 4 \cdot \left(\frac{e^{i3x} -3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-i3x}}{(2i)^3 = -8i}\right) \end{eqnarray*}$

Wäre das so die vereinfachte Form?

24.01.2015, 12:59

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RE: Zusammenhang von cos x und sin x zeigen
Der Zähler ist jetzt richtig.
Aber das $\begin{eqnarray*} (2i)^3=-8i \end{eqnarray*}$ im Nenner ist einfach nur furchtbar.

24.01.2015, 13:06

Rivago

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Das kann man ja jetzt noch mit der -4 kürzen, somit steht in beiden Nennern 2i

$\begin{eqnarray*} = \frac{3e^{ix} - 3e^{-ix} + e^{i3x} - 3e^{ix} + 3e^{-ix} - e^{-i3x}}{2i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = \frac{e^{i3x} - e^{-i3x}}{2i} \end{eqnarray*}$

So sollte es passen smile

24.01.2015, 13:29

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So passt es

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