Zerlegung von Permutationen in elementfremden Zykeln

24.01.2015, 16:10	qwertz235	Auf diesen Beitrag antworten »
Zerlegung von Permutationen in elementfremden Zykeln Hallo, ich bin gerade mit dieser Aufgabe beschäftigt: Zeigen Sie: Jede Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \in S_{n} \end{eqnarray}$ besitzt eine Zerlegung in elementfremde Zykeln, d.h. es gibt elementfremde Zykeln $\begin{eqnarray} \sigma_{1},...,\sigma_{l} \in S_{n}, \end{eqnarray}$ sodass $\begin{eqnarray} \sigma = \sigma_{1}\circ ...\circ \sigma_{l}. \end{eqnarray}$ Die Zerlegung einer Permutation in elementfremde Zykeln ist eindeutig bis auf die Reihenfolge. Ich finde leider überhaupt keinen Ansatz dazu und weiß nicht, wie ich an diese Aufgabe herangehen soll. Daher würde ich mich über Hilfe sehr freuen. Viele Grüße
24.01.2015, 18:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine Permutation $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ kann geschrieben werden als $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & ... & n \\ \sigma(1) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , und daraus lässt sich ganz leicht eine Zerlegung in paarweise elementfremde Zykeln ablesen. Zum Beispiel $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ 2 & 5 & 4 & 3 & 1 \end{pmatrix}=(1 2 5)(3 4) \end{eqnarray}$ . Als Beweis bietet sich eine vollständige Induktion über n an.
24.01.2015, 19:14	qwertz235	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Zyklenzerlegung an sich ist mir auch klar, nur weiß ich eben nicht, wie ich das beweisen soll. Wie müsste man denn in diesem Fall einen Induktionsbeweis führen? Das ist mir noch etwas unklar.
25.01.2015, 09:58	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Die von der Permutation erzeugte zyklische Gruppe operiert auf der Menge der Zahlen 1 bis n. Betrachte die Bahnen.

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