Erstes Semester Analysis I

24.01.2015, 16:29	Durban	Auf diesen Beitrag antworten »
Erstes Semester Analysis I Meine Frage: Hallo, ich möchte vielleicht irgendwann Mathe studieren. Ich habe mir schon mal das Buch "Lehrbuch der Analysis - Teil 1" von Harro Heuser gekauft. Jetzt würde ich gerne wissen was im ersten Semester alles drankommt. Sicher nicht das komplette Buch, oder? Der Unterschied zwischen verschiedenen Hochschulen wird auch nicht groß sein, oder? Das Buch ist folgendermaßen aufgebaut: I Mengen und Zahlen u.A. - Axiome - induktive Beweise II Funktionen u.A. - Polynome - Interpolation - Mengenvergleiche III Grenzwerte und Zahlenfolgen u.A. - Konvergente und divergente Folgen - Cauchyscher Grenzwertsatz IV Unendliche Reihen V Stetigkeit und Grenztwerte von Funktionen u.A. - Eigenschaften steitiger Funktionen - Einseitige Grenzwerte - Rechnen mit Grenzwerten VI Differenzierbare Funktionen u.A. - Regel von de l'Hospital VII Der Taylorsche Satz und Potenzreihen X Integration XI Uneigentliche und Riemann-Stieltjessche Integrale XIII Vertauschung von Grenzübergängen, Gleichmäßige und monotone Konvergenz. Die fehlenden Kapitel sind "Anwendungen". Meine Ideen: -
24.01.2015, 16:52	Cyvasse	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich mir die Titel der Kapitel so ansehe, dann ist das ziemlich genau das, was ich in Analysis I dieses Semester gemacht hab. Unterschätz die Menge des Stoffs im Studium nicht. In so einer Vorlesung wird sehr viel hintereinander weg definiert und Sätze gefolgert, ohne wirklich groß zu besprechen, was das jetzt bedeutet, auch wenn sicherlich Beispiele gemacht werden. Aber wenn du dann so einen Übungszettel bekommst, ist es an dir selbst die Definitionen und Sätze zu verstehen und anzuwenden Es ist sehr viel abstrakter und schneller als der Mathe-Unterricht in der Schule.
24.01.2015, 17:00	Jayk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist je nach Prof anders. Ich kann ja mal wiedergeben, was bei mir im ersten Semester drankam: Mengenlehre, Äquivalenzrelationen und -klassen, Ordnungsrelationen axiomatische Einführung von $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ , daraus Definition von $\begin{eqnarray} \mathbb N, \mathbb Q \end{eqnarray}$ metrische Räume, normierte Räume, insbesondere $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Folgen und Konvergenz, Kompaktheit in metrischen Räumen, Einführung von $\begin{eqnarray} \overline{\mathbb R} \end{eqnarray}$ Stetigkeit in metrischen Räumen Einführung von $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ , Reihen Potenzreihen, Exponentialfunktion, Sinus und Cosinus Differentiation in $\begin{eqnarray} \mathbb{R} \end{eqnarray}$ Riemann-Integral für Funktionen $\begin{eqnarray} \mathbb R \to \mathbb{R}^n \end{eqnarray}$ Taylorreihen Fourierreihen Das war eine eher ungewöhnliche Vorlesung, die schon einiges vorwegnahm, was typischerweise in Analysis II drankam. Ich fand die Struktur aber ausgesprochen sinnvoll. Ich kenne den Heuser nicht. Von der Inhaltsübersicht her würde ich aber schon sagen, dass man das in einem Semester schaffen kann. Riemann-Stieltjes-Integral haben wir nicht gemacht und Vertauschung von Grenzwerten auch nicht so viel (außer bei gleichmäßiger Konvergenz). Kapitel II kam bei uns auch nicht dran (Polynome wurden ad hoc eingeführt als Funktionen einer bestimmten Form, wurden ansonsten eher in Linearer Algebra behandelt, Interpolation hat nur mal auf einem Übungszettel in Linearer Algebra eine Rolle gespielt). Ein typisches Thema im ersten Semester stellen noch die linearen gewöhnlichen Differentialgleichungen dar (wir hatten gleich am Anfang des zweiten Semesters eine Einführung in gewöhnliche Differentialgleichungen). Unterschiedlich ist auch, wie viele topologischen Begriffe im ersten Semester eingeführt werden: die meisten Dozenten führen erst alles in $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ ein und machen es im zweiten Semester allgemeiner. Einige Dozenten behandeln auch das Riemann-Integral erst im zweiten Semester (im Buch von Amann/Escher wird das auch so gemacht; die Bücher sind sehr, sehr gut, aber ich habe nur mit dem dritten Band gelegentlich gearbeitet und für Analysis I und II Königsberger verwendet, teilweise auch Rudin). Es gibt schon ein bisschen Spielraum. Ein Skript von einem Semester hat typischerweise etwa 100 A4-Seiten. Beispiele sind in Vorlesungen eher selten und werden auf Übungszetteln gegeben (das gehört zu den Vorzügen eines Lehrbuchs gegenüber einer Vorlesung). Aus Seminarerfahrung kann ich sagen, dass man in 90 Minuten normalerweise nicht mehr als 4 A4-Seiten schaffen kann.

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