Basistransformation

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AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »
Basistransformation
Hallo zusammen smile
Derzeit kaue ich den Stoff des 1. Semesters des Physikstudiums durch (mathematischer Vorkurs und Rechenmethoden).
Im Moment zerbreche ich mir den Kopf an Basistransformation und Einsteinsche Summenkonvention.
Gegeben sei ein Span und ein weiterer Span . Die Vektoren des Span lassen sich als Linearkombination aus den Vektoren ausdrücken, .
Nun meine erste Frage. Warum benötigen wir eine Matrix , um einen Streckungsfaktor für die Vektoren aus zu haben ?
Wenn wir jedenfalls laut Vorlesungsskript die Transformation fortführen, gilt:
. So weit leuchtet es mir eigtl. ein. Tut mir Leid, wenn ich mich noch etwas ungeschickt anstelle, bin in der 11. Klasse.
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Einstein war genial, aber faul, deshalb hat er die Summenkonvention erfunden, die besagt, dass er Summenzeichen nicht schreibt. Für Physiker ist das in Ordnung, Mathematiker finden das grausam. Du musst nun darunter leiden, so wie viele andere auch, denn diese Vereinfachung der Schreibweise ist eine Erschwernis für das Verständnis. Schreibe die notwendigen Summenzeichen dazu, dann wird alles klar. Wesentlich einfacher und kürzer ist die Matrizenschreibweise, die in der Mathematik üblich ist, leider war diese zu Einsteins Zeiten noch nicht hinreichend verbreitet. Eine lineare Transformation ist im allgemeinen als eine Matrix darstellbar, das ist im allgemeinen keine Streckung. Aus deiner Aufgabenstellung geht auch nicht hervor, dass es sich hier um eine Streckung handelt.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basistrans.
Dann nochmal mit Summenformelzeichen (ich liebe dieses Sigma smile ):
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Gegeben sei ein Span und ein weiterer Span . Die Vektoren des Span lassen sich als Linearkombination aus den Vektoren ausdrücken, .
Nun meine erste Frage. Warum benötigen wir eine Matrix , um einen Streckungsfaktor für die Vektoren aus zu haben ?
Wenn wir jedenfalls laut Vorlesungsskript die Transformation fortführen, gilt:

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Ich hoffe mir ist jetzt kein Fehler unterlaufen und die Schreibweise ist nun für Mathematiker verständlich smile
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Basistrans.
Zitat:
Original von AstroNerd
Die Vektoren des Span lassen sich als Linearkombination aus den Vektoren ausdrücken, .


Das ist falsch.
1. Die Vektoren des Span sind nicht nur , sondern
2. Sie lassen sich nicht durch ausdrücken, sondern durch für i=1,...n.
3. ist auch falsch, es geht um jeden einzelnen Vektor und nicht nur um ihre Summe.

Zitat:
Original von AstroNerd




Das ist richtig und vollständig, und spätestens jetzt muss klar sein, dass die s an der richtigen Stelle für das Verständnis absolut notwendig sind und nur ein Genie wie Einstein darauf verzichten durfte. Du und ich sind keine Genies, deshalb hilft nur sauber schreiben.

Deine Frage beantwortet sich damit von selbst, denn die in der einzig richtigen Formel sind eine Matrix. Weitere Beispiele für Basistransformationen sind Drehungen oder Spiegelungen, Drehstreckungen und viele andere Abbildungen eines Koordinatensystems auf ein anderes Koordinatensystem.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Deine letzte Formel, die ich richtig genannt habe, ist nur "halb" richtig. Am Ende muss stehen für j=1,...,n .
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe nur das abgeschrieben, was im Vorlesungsskript stand, jetzt weiß ich nicht ob ich Dir oder dem Professor der Uni vertrauen soll.
Und die Frage hat sich noch immer nicht beantwortet. Meines Wissens nach ist jeder Basisvektor nichts anderes als die Linearkombination aus anderen Basisvektoren (wenn man diese entsprechend streckt).
Nun also meine Frage, wozu eine Matrix ? Was kann ich überhaupt mit der Matrix anfangen ? Was sind im engeren Sinne Matrizen und wie wendet man sie aus welchem Grund an ?
Entschuldige mich für mein Unwissen, habe noch nicht einmal das Abitur hinter mir.
Mit freundlichem Gruß
AstroNerd
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Skript ist richtig, wenn man die Summenkonvention berücksichtigt, die besagt, dass über doppelt auftretende Indices summiert wird.

Wenn man 2 Basen v und w hat, lässt sich jeder Basisvektor der Basis v als Linearkombination der Basis w darstellen. Das geht nicht mit einer Streckung sondern mit einer linearen Abbildung. Bei gegebenen Basen v und w wird eine lineare Abbildung durch eine Matrix dargestellt.

Das ist genau das was dein Professor sagt und was ich sage und was die einzig richtigen Formeln sagen. Richtig sind die Formeln mit und ohne Summenzeichen; wenn die Summenzeichen nicht dastehen, muss man sie sich jeweils an den richtigen Stellen dazudenken.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig smile
Ich glaube, ich habe Deinen Post vorhin evtl. nur falsch verstanden. Tut mir Leid wenn ich noch etwas ,,unbeholfen'' bin, hatte damals in Foren schlechte Erfahrung mit Freundlichkeit usw., wurde nahezu ,,rausgeekelt'', da ich etwas jünger war als die meisten User.
Vielen Dank.
AstroNerd
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist mir herzlich willkommen, und du darfst so lange nachfragen, bis du mit mir zufrieden bist. Sei nie zufrieden, bevor du mich vollständig verstanden hast. Solange du mich nicht verstanden hast, kann ich immer noch etwas besser machen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo, zum besseren Verständnis möchte ich noch ein paar Anmerkungen machen. Lineare Algebra (und analytische Geometrie) hat sich in vielen Teilen der Mathematik und Physik als wichtiges Hilfsmittel erwiesen. In der Physik fällt mir da spontan Einsteins Relativitätstheorie und Heisenbergs Quantenmechanik ein, es gibt noch viel mehr wichtige Beispiele.

Lineare Algebra ist die Theorie der Vektorräume über Körpern, man kann in Vektorräumen addieren und mit Elementen aus dem Körper skalar multiplizieren. In jeder mathematischen Theorie sind strukturerhaltende Abbildungen zwischen den Objekten von besonderem Interesse, hier sind das die linearen Abbildungen zwischen Vektorräumen. Im Zusammenspiel zwischen den Objekten und Abbildungen entwickelt sich die Theorie und man lernt immer mehr darüber. Ein Grundstudium der linearen Algebra dauert 2 Semester, danach sollte man die wichtigsten Begriffe einigermaßen beherrschen.

Vektoren sind nicht die harmlosen Dinge, die man in der Schule kennenlernt. Vektoren sind Elemente von Vektorräumen und können höchst komplizierte Objekte sein, die man eben nur dadurch beherrscht, weil man in Vektorräumen besonders gut rechnen kann. Das kommt daher, dass man Vektoren auf Koordinaten zurückführen kann, endlichdimensionale Vektorräume verhalten sich genau so wie ein . Beispiele sind Funktionenräume (siehe Analysis und Funktionentheorie), Polynomringe und Körpererweiterungen. Aus der Vektorraumstruktur von Körpererweiterungen hat Emil Artin einen großen Teil der Zahlentheorie abgeleitet. Physiker betrachten nicht nur den "simplen" Raum in dem wir leben, sondern Zustandsräume, und wenn sie Glück haben, sind das einigermaßen beherrschbare Vektorräume.

Kurz zu den wichtigsten Grundbegriffen: Jeder Vektorraum hat eine Basis, das ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem, und es wird sofort klar, dass jeder Vektorraum verschiedene Basen hat. Alle Basen eines Vektorraums haben dieselbe Mächtigkeit, diese heißt Dimension des Vektorraums.

Eine Abbildung heißt linear, wenn für alle Skalare und Vektoren gilt . Ordnet eine lineare Abbildung jedem Basiselement aus ein Element zu, so ist dadurch eindeutig bestimmt. Bezüglich einer Basis von V und einer Basis von W gehört zu jeder linearen Abbildung die Darstellungsmatrix , und für alle Vektoren ist einfach , d.h. die Abbildung wird durch Matrizenmultiplikation berechnet. (Ganz ohne , Einstein hätte sich gefreut, wenn er das gekonnt hätte !)

Mit diesen Matrizen kann man hervorragend rechnen, weil sie selbst wieder Vektorräume bilden. Der Hintereinanderausführung von linearen Abbildungen entspricht das Produkt der Matrizen, also bilden Matrizen sogar Ringe. Zusammengenommen bilden Matrizen Algebren (Vektorräume mit Ringstruktur). Matrizen habe vielfache Anwendungsgebiete, zu den wichtigsten gehören die Theorie linearer Gleichungssysteme, die Theorie linearer Abbildungen (z.B Basistransformationen) und mehrfach linearer Abbildungen (Determinantentheorie, euklidische und unitäre Vektorräume, Hilberträume). Sie machen das Rechnen leicht und in vielen Fällen überhaupt erst möglich.

Wenn man versucht, in der 4-dimensionalen Raumzeit ohne Matrizen zu rechnen, wird man nie im Leben die Relativitätstheorie verstehen können. Soviel ich weiß braucht Einstein auch Tensorräume, das sind Vektorräume mit speziellen Abbildungseigenschaften, man kann auch sagen, dass sie speziell konstruiert sind.
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, welch schwere Geburt smile
Ich versuche es mal so zu erläutern, wie ich die Antwort verstanden habe.

Meine Frage war, warum wir eine Matrix für verwenden. Um einen Vektor als Linearkombination darzustellen, benötigt man ein Skalar (im Grunde genommen eine 1x1 Matrix). Nun nehmen wir jedoch die Summe aus allen Vektoren, die wir als Linearkombination ausdrücken wollen.

Da nun nicht nur gestreckt wird, sondern auch gedreht werden kann, ist es notwendig, den Vektor mit der gesamten (in dem Fall 3x3) Matrix

zu multiplizieren statt mit einem Skalar.

So in etwa habe ich das mehr oder weniger verstanden. Zwar brauche ich auf jeden Fall noch Übung (wäre nett, wenn jemand, der anwesend ist, Übungsaufgaben für Anfänger/Einsteiger hätte), aber im Groben meine ich, es verstanden zu haben. Ein klein wenig Erläuterung wäre ganz nett, damit ich mir sicher bin, dass ich es auch richtig verstanden habe. Vielen Dank für die netten Antworten smile AstroNerd
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

*Korrektur:
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt bist du schon ganz nah dran, etwas verstehen zu können. Um einen Vektor als Linearkombination darzustellen, brauchen wir eine Basis mit n Basisvektoren und n Skalare. Wenn wir also n Vektoren darstellen wollen, brauchen wir nxn Skalare, und das ist eine Matrix.
Wenn du dann noch bedenkst, dass Vektoren sehr komplizierte Dinge sein können (z.B. Elektronenspins oder Wellenfunktionen oder Polynome oder Zahlen oder Funktionen ...) in Vektorräumen über sehr komplizierten Körpern (endliche Körper, reelle Zahlen, komplexe Zahlen, algebraische Zahlen, p-adische Zahlen, ...), und dass die Dimension n des Vektorraums beliebig groß, ja sogar unendlich sein kann, dann kann man nur noch staunen, dass Vektorräume zu den einfachsten Strukturen der Mathematik gehören.

Übungsaufgaben kommen hier jeden Tag herein und werden kommentiert und beantwortet. Komm regelmäßig wieder, dann wirst du sehen, dass viele Studenten ungefähr deinen Wissensstand haben und manche jeden Tag ein bißchen besser werden.

Vielleicht hilft dir noch ein ganz einfaches Beispiel: ist eine Basis der reellen x,y-Ebene. ist auch eine Basis.
Mache eine Skizze und berechne die Matrix der Basistransformation (Drehstreckung : Drehung um 45°, Streckung um ) .
AstroNerd Auf diesen Beitrag antworten »

,,Um einen Vektor als Linearkombination darzustellen, brauchen wir eine Basis mit n Basisvektoren und n Skalare. Wenn wir also n Vektoren darstellen wollen, brauchen wir nxn Skalare, und das ist eine Matrix."

Endlich smile Ich bedanke mich herzlich bei Dir. Genau so habe ich es gemeint bzw. verstanden.
Natürlich muss ich mich noch bisschen einarbeiten, aber das Prinzip ist mir schonmal klar smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe doch gleich gewußt, dass wir uns verstehen ... früher oder später. smile
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

hi Elvis !

dein obiger Beitrag hätte doch das Zeug zu einem Workshop Freude

Ich bin nicht wirklich ein Fan von LA, aber das was vergnüglich zum Lesen und auch für mich verständlich. smile

Noch ein gutes Neues !
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Moin, Dopap.

Geschichte der Mathematik und Physik läuft spätestens seit dem 19. Jahrhundert so wunderbar zusammen, wenn man die ältere Physik dazunimmt schon seit dem 16. Jahrhundert, das ist ein nie endendes Vergnügen. Nur schade, dass in der Schule Geschichte daraus bestand, wer wen wann wie in welchem Krieg ermordet hat.

Alles Gute für Dich in 2015.
Gruss, Elvis
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