Satz von Dedekind

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AnnaK1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Satz von Dedekind
Meine Frage:
Beweisen Sie die Richtung des Satzes von Dedekind. Sei dafür ein Modell der Peano-Axiome P1, P2 und IND. Zeigen Sie, dass f : N A, definiert durch



ein Isomorphismus von N = (N; S; 0) nach A ist.


SATZ VON DEDEKIND. Sei L = L(S; 0). Dann gilt fur jede L-Struktur A:
A |

Meine Ideen:
Hi zusammen,

leider habe ich hier keinerlei Ansatz und bräuchte dringend Hilfe. Man müsste ja eigentlich nur den Nachweis der Isomorphismeneigenschaften zeigen oder?

Grüße
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist bestimmt ganz einfach. Schwierig ist es nur dadurch, dass hier keine Definitionen angegeben sind, und weil die Axiome in der Literatur immer ein bißchen unterschiedlich sind. Was genau sind die Axiome P1,P2,IND ? Was ist eine L-Struktur ? Was genau bedeutet die Schreibweise auf der linken Seite des Satz von Dedekind ? Wer oder was ist ?

Im übrigen gilt: Ja, du musst nur eine Isomorphie zeigen. Restproblem: Was heißt hier isomorph ? Genauer : welche algebraische Struktur liegt zugrunde ?
 
 
AnnaK19902 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi, danke für deine Antwort und da ist natürlich was wahres dran... Hier sind die Definitionen zu den Axiomen:
P1 : x(S(x) = 0)
P2 : x x = y)
IND : X(X(0)x(X(x) X(S(x))x(X(x)))

L ist einfach eine Sprache und die entsprechende Struktur dazu, mit N' ist wohl
N' = (N; ; +, ·; 0,1, + 1) gemeint, da bin ich mir aber auch nicht sicher, da ich dazu leider nichts finde.

Falls es dir immer noch "bestimmt ganz einfach" vorkommt würde ich mich super über Hilfe freuen, da es bei mir gerade um die Klausurzulassung geht :*(
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist schwierig, schwierig, schwierig. Der Rekursionssatz (Dedekind 1888) wird in (Ebbinghaus et. al. "Zahlen", Springer Lehrbuch, §2 Natürliche Zahlen) bewiesen und daraus die Isomorphie gefolgert, die du brauchst. Die dortige Formulierung arbeitet konsequent mit Mengen und Abbildungen, von Ableitungen in einer Sprache L und einem Modell A ist nicht die Rede. Die "Übersetzung" will mir auf die Schnelle nicht gelingen, mir fehlen auf jeden Fall deine Grundlagen, die in deiner Vorlesung gelegt wurden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist klar, dass es darum geht, dass durch die Dedekind-Peano-Axiome die natürlichen Zahlen bis auf Isomorphie festgelegt sind. ist eine Menge mit "kleinstem" Element (P1) und einer injektiven Nachfolgerfunktion (P2) , in der das Induktionsaxiom gilt (IND, hier in der Prädikatenlogik, in der über Mengen quantifiziert wird). Ordnungsrelation, Addition und Multiplikation, Existenz der gehören nicht zur Grundstruktur von , sie werden daraus später hergeleitet.

"Ebbinghaus et.al." Zu zeigen ist : Es gibt genau eine bijektive Abbildung mit

Da die Abbildung schon so definiert ist, das dies fast alles gilt, sollst du anscheinend die Eindeutigkeit und Bijektivität von zeigen.
AnnaK19902 Auf diesen Beitrag antworten »

Hui, danke für deine viele Mühe, leider habe ich es noch nicht so ganz verstanden was ich genau machen muss :/ ist alles etwas abstrakt...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, es ist sehr konkret, und ich kann es nicht weiter vereinfachen, ich kann höchstens noch Hinweise geben.
Eindeutigkeit: Nimm an, es gibt 2 solche Abbildungen und . Zeige, dass sie auf allen übereinstimmen, also . Das liegt vermutlich an .
Bijektivität: Zeige Injektivität und Surjektivität von f. Das erste läuft vermutlich auf die Injektivität von und hinaus. Das zweite wird vermutlich durch begründet.

Dass die algebraischen Strukturen und durch die Peano-Axiome nicht festgelegt werden, sieht man daran, dass ein neutrales Element ist, das in nicht existiert. Dasselbe gilt für die Multiplikation, ist neutral, ein neutrales Element existiert nicht, wenn man erst bei 2 zu zählen beginnt. Mit anderen Worten: Die Peano-Axiome legen die natürlichen Zahlen als vollständig geordnete Menge mit kleinstem Element fest, mit der man Zählen kann. Die kanonische Ordnung wird dabei durch induziert. Je nach Modell kann man damit auch rechnen (addieren und multiplizieren), dafür sorgt , denn die Rechenregeln lassen sich durch vollständige Induktion definieren (man sagt dazu auch "rekursive Definition"). Für das Rechnen gleichermaßen sinnvoll ist es, mit 0 oder 1 anzufangen. 0 hat Vorteile, besonders auch in der Informatik.
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