Spiegelmatrix

26.01.2015, 22:33	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Spiegelmatrix halihalo zum wiederholten male habe stieß ich auf das gleiche problem. es geht um die spiegelung. mir ist die formel bekannt: S(x)=x-2 <x.u>u v1=(1,0,1) v2=(1,2,1) nun soll die spiegelmatrix bestimmt werden. wobei u das das orthogonale komplement ist. ich frage mich aber was x ist? wenn ich x als x=(x1,x2,x3) betrachte komme ich zwar auf die form des richtiges ergebnisses. aber in der matrix müssten zahlen stehen und keine variable x. was ist x?
27.01.2015, 10:53	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ein beliebiger Vektor $\begin{eqnarray} \vec x \end{eqnarray}$ soll an derjenigen Ebene gespiegelt werden, welche durch die beiden Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1=(1\|0\|1) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec v_2=(1\|2\|1) \end{eqnarray}$ aufgespannt wird. Der senkrecht auf dieser Spiegelebene stehende Vektor ist offenbar das Vektorprodukt $\begin{eqnarray} \vec u=\vec v_1 \times \vec v_2=(-2\|0\|2) \end{eqnarray}$ . Wie bei einem echten Spiegel werden die Vektoren $\begin{eqnarray} \vec v_1, \vec v_2 \end{eqnarray}$ , welche innerhalb der Spiegelebene liegen, auf sich selbst abgebildet. (Zeichnet man nämlich mit einem Filzstift zwei Vektorpfeile auf einen echten Spiegel, sind deren Spiegelbilder am gleichen Ort, wie die Originale.) Es gilt also $\begin{eqnarray} A\vec v_1=\vec v_1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} A\vec v_2=\vec v_2 \end{eqnarray}$ Der senkrecht auf dem Spiegel stehende Vektor $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ erscheint dagegen im Spiegel "nach hinten umgeklappt". Er ändert also sein Vorzeichen, so dass gilt $\begin{eqnarray} A\vec u=-\vec u \end{eqnarray}$ Diese 3 Gleichungen kann man zu einer Matrixgleichung zusammenfassen $\begin{eqnarray} \underbrace{\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}}_{\text{Spiegelmatrix A}} \underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & -2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix V}} =\underbrace{\begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 0 \\ 1 & 1 & -2 \end{pmatrix}}_{\text{Matrix V'}} \end{eqnarray}$ Wende auf diese Gleichung "von rechts" die inverse Matrix $\begin{eqnarray} V^{-1} \end{eqnarray}$ an und du hast die gesuchte Spiegelmatrix $\begin{eqnarray} A=V'V^{-1} \end{eqnarray}$

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