Vektoren zu Basis eines Vektorraums ergänzen

27.01.2015, 16:27

zunder

Vektoren zu Basis eines Vektorraums ergänzen

Meine Frage:
Hallo, ich habe die folgende Aufgabe. Ich soll die Vektoren $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ und zu einer Basis des $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Vektorraums $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ergänzen.

Meine Ideen:
Es ist klar, dass bei der zweiten Teilaufgabe die Vektoren zusammen mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden. Wie geht das jedoch im Komplexen? Gibt es da ein Verfahren, das man anwenden kann? Danke.

27.01.2015, 16:30

Captain Kirk

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Hallo,

Zitat:

Es ist klar, dass bei der zweiten Teilaufgabe die Vektoren zusammen mit $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ eine Basis bilden.

Nein, das ist eine Basis in der ersten Teilaufgabe.
Eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ ist 6-elementig.

27.01.2015, 16:32

zunder

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Wie kommt man darauf, dass die Basis 6-elementig ist?

27.01.2015, 16:35

Captain Kirk

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Die komplexen zahlen sind ein zwei-dimensionaler reeller Vektorraum.

27.01.2015, 16:39

zunder

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Wie kann man dann die Basis ermitteln? Ich habe da keinen Ansatz.

27.01.2015, 17:12

Captain Kirk

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Was ist eine $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ -Basis von $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ ?
Eine $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \mathbb C^3 \end{eqnarray*}$ kennst du ja schon.
Und daraus was 6-elementiges basteln.

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