Teleskopreihe, Reihenwert berechnen

28.01.2015, 07:41

Anaconda55

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Teleskopreihe, Reihenwert berechnen

Ich habe eine Teleskophreihe gegeben und ich weiß nicht, wie ich diese so umformen kann,
damit ich das erste und letzte Glied gegeben habe.
Was wäre hier der richtige Ansatz?
Ich habe es mit der binomischen Formel sowie mit Partialbruchzerlegung versucht, hat mich nicht wirklich weitergebracht.

Es geht um diese schöne Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=5}^\infty \frac{12}{16n^2 + 40n +21} \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 08:34

klarsoweit

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RE: Teleskopreihe, Reihenwert berechnen

Zitat:

Original von Anaconda55
Ich habe es mit der binomischen Formel sowie mit Partialbruchzerlegung versucht, hat mich nicht wirklich weitergebracht.

Meines Erachtens sollte es aber damit funktionieren. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2015, 08:56

Anaconda55

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Also oder? Ich darf mir eins aus {binomischer Formel, Partialbruchzerlegung} aussuchen?

28.01.2015, 09:22

klarsoweit

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Nun ja, der Weg mit der Partialbruchzerlegung geht nun mal über die binomische Formel. smile

smile

28.01.2015, 11:06

Anaconda55

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Gut, dass ich mich damit nicht besonders gut auskenne.

Ich bestimme die Nullstellen des Nenners.
Ich habe $\begin{eqnarray*} \left(x + \frac{7}{4} \right) \left(x + \frac{3}{4} \right) \end{eqnarray*}$ als Ergebnis.
Wenn ich jetzt einen Koeffizientenvergleich machen sollte, dann habe ich ein x im Zähler obwohl ich im Ausgangsbruch nur 12 stehen habe.

28.01.2015, 11:08

klarsoweit

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Auch hier gilt: wenn man die Rechnung nicht sieht, kann man nicht sagen, was falsch läuft. (Wir haben keine Glaskugel.)

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28.01.2015, 11:22

Anaconda55

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Zitat:

Original von klarsoweit
Auch hier gilt: wenn man die Rechnung nicht sieht, kann man nicht sagen, was falsch läuft. (Wir haben keine Glaskugel.)

Natürlich.

Mit der Mitternachtsformel Nullstellen von $\begin{eqnarray*} 16n^2 + 40n + 21 \end{eqnarray*}$ bestimmen.

$\begin{eqnarray*} \frac{-40\pm \sqrt{40^2-4 \cdot 16 \cdot 21} }{2 \cdot 16} = \frac{-40 \pm \sqrt{256} }{32} = \frac{-40 \pm 16 }{32} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -\frac{56}{32} = -\frac{7}{4} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2 = -\frac{24}{32} = -\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$

Partialbruchzerlegung:

$\begin{eqnarray*} \frac{A}{\left(x+\frac{7}{4} \right) } + \frac{B}{\left(x+\frac{3}{4} \right) } \end{eqnarray*}$

Ausklammern

$\begin{eqnarray*} \frac{Ax+\frac{3}{4}A + Bx+\frac{7}{4}B }{\left(x+\frac{7}{4} \right) \left(x+\frac{3}{4} \right) } \end{eqnarray*}$

Distributivgesetz

$\begin{eqnarray*} \frac{x(A+B)+\frac{3}{4}A+\frac{7}{4}B }{\left(x+\frac{7}{4} \right) \left(x+\frac{3}{4} \right) } = \frac{12}{16n^2 + 40n + 21} \end{eqnarray*}$

Und hier steh ich vor meinem Problem...

28.01.2015, 11:49

Mi_cha

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der Anfang der Partialbruchzerlegung stimmt nicht ganz.

$\begin{eqnarray*} (x+\frac{7}{4}) \cdot (x+\frac{3}{4}) \neq 16x^{2}+40x+21 \end{eqnarray*}$

Man muss die Zerlegung also noch anpassen.

Zum Problem am Ende:
Wenn kein x im Ausgangsbruch vorhanden ist, müssen die Koeffizienten von x Null ergeben; hier also $\begin{eqnarray*} A+B=0 \end{eqnarray*}$ .

28.01.2015, 11:49

klarsoweit

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Zitat:

Original von Anaconda55
Distributivgesetz

$\begin{eqnarray*} \frac{x(A+B)+\frac{3}{4}A+\frac{7}{4}B }{\left(x+\frac{7}{4} \right) \left(x+\frac{3}{4} \right) } = \frac{12}{16n^2 + 40n + 21} \end{eqnarray*}$

So sollte es lauten: $\begin{eqnarray*} \frac{x(A+B)+\frac{3}{4}A+\frac{7}{4}B }{\left(x+\frac{7}{4} \right) \left(x+\frac{3}{4} \right) } = \frac{\frac{12}{16}}{x^2 + \frac{40}{16}x + \frac{21}{16}} \end{eqnarray*}$

Und jetzt ein ganz normaler Koeffizientenvergleich.

Zitat:

Original von Mi_cha
Zum Problem am Ende:
Wenn kein x im Ausgangsbruch vorhanden ist, müssen die Koeffizienten von x Null ergeben; hier also $\begin{eqnarray*} A+B=0 \end{eqnarray*}$ .

Genau.

28.01.2015, 12:02

Anaconda55

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Ich hoffe ich habe es verstanden.

B = 12/16 und A = -12/16 ?

28.01.2015, 12:21

Mi_cha

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wenn ich mich noch einmal einmischen darf:

ja, das stimmt. Man könnte noch kürzen.

28.01.2015, 12:41

Anaconda55

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Dann habe ich jetzt für die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=5}^\infty\left( \frac{\frac{3}{4}}{n^2+\frac{40}{16}n+\frac{21}{16}} - \frac{\frac{3}{4}}{n^2+\frac{40}{16}n+\frac{21}{16}} \right) \end{eqnarray*}$ ?

Richtig?

28.01.2015, 12:46

klarsoweit

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Nee, die Nenner passen nicht. So steht da Null. Augenzwinkern

Augenzwinkern

28.01.2015, 13:00

Anaconda55

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Ich bin soooo verwirrt. Entschuldigung.

Die Reihe:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=5}^\infty \left( \frac{3}{4x+3} - \frac{3}{4x+7} \right) \end{eqnarray*}$

Richtig?

Dann konvergiert die Reihe gegen
$\begin{eqnarray*} \frac{3}{23} \end{eqnarray*}$

28.01.2015, 13:02

klarsoweit

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Schreiben wir noch $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=5}^\infty \left( \frac{3}{4n+3} - \frac{3}{4n+7} \right) \end{eqnarray*}$ , dann paßt es. Freude

Freude

28.01.2015, 13:06

Anaconda55

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Ja stimmt. Vielen Dank! Freude

Freude

Ist ganz einfach wenn man weiß wie.
Partialbruchzerlegung muss ich unbedingt weiter üben, dann klappt es auch mit den Teleskopreihen.

31.01.2015, 08:51

Anaconda55

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Ich habe noch eine Frage dazu.
Ich bin hier stumpf nach dem Algorithmus zur Partialbruchzerlegung nachgegangen.
Gäbe es auch wie anfangs besprochen einen Weg über die Binomische Formel?

02.02.2015, 08:24

klarsoweit

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RE: Teleskopreihe, Reihenwert berechnen
Hm. Höchstens bei der Faktorisierung von $\begin{eqnarray*} 16n^2 + 40n + 21 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} 16n^2 + 40n + 21 = 16n^2 + 2 \cdot 4n \cdot 5 + 25 - 4 = (4n + 5)^2 - 2^2 = (4n+5+2) \cdot (4n+5-2) \end{eqnarray*}$

03.02.2015, 23:10

Anaconda55

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Danke, da wäre ich nur nicht drauf gekommen. Freude

Freude

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