Fouriertransformation berechnen

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Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
Fouriertransformation berechnen
Meine Frage:
Hallo Zusammen

Folgende Aufgabe bereitet mir Kopfzerbrechen:

Welche der folgenden Funktionen besitzt eine Fouriertransformierte? Geben Sie diese an, falls sie existiert.

a)
b)
c)

Mein Problem ist, dass ich nicht genau weiss wie ich prüfen muss, ob die Fouriertransformierte überhaupt existiert.

Meine Ideen:
In der Vorlesung hatten wir die Kriterien, dass



und



gelten muss. Aber müssen für eine Funktion immer beide Kriterien gelten? Oder reicht das erste? Oder sind sowieso beide falsch und man prüft das vollkommen anders?

Liebe Grüsse
Doutzi
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation berechnen
Aus beiden Kriterien folgt, dass die Fouriertransformierte existiert. Allerdings will man die erste haben, um es per klassischen Definition hinschreiben zu können, und die zweite damit die Rücktransformation ebenfalls existiert. Um genau zu sein existiert die Fouriertransformation, falls für ein ist.

Die Fouriertransformierte definiert man ja irgendwie. Da geht es jetzt nicht darum zu prüfen, was die maximal schwache Bedingung ist, s.d. diese existiert. Prüfe nach, ob du es überhaupt für deine f definiert hast.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation berechnen
Ok vielen Dank. Nur zum sichergehen:

a) Die Fouriertransformierte existiert, da



Jedoch habe ich hier Probleme beim Ausrechnen der Fouriertransformation. Die Formel lautet doch:



Damit komme ich auf



was mir leider keinen endlichen Wert liefert... sieht jemand per Zufall den Fehler?

b) Hier habe ich eine Frage: Da die charakteristische Funktion hier sowieso nur auf dem Intervall [0,1] gilt, muss ich zum prüfen, ob die Funktion im liegt, trotzdem die Grenzen unendlich und - unendlich haben beim Intervall? Weil mit diesen Grenzen würde ich ja kein endliches Integral erhalten, womit die Funktion ja nicht im liegt...

c) Die Fouriertransformierte existiert, da



Stimmt das soweit?

Vielen Dank,
Lg
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation berechnen
Bei a) hast du die Stammfunktion von x statt |x| gebildet. Unabhängig davon ist insofern falsch, dass die linke Seite nicht definiert ist.

Mal anschaulich: Du berechnest die Fläche unter der Betragsfunktion auf komplett ...das ist nicht "knapp zu schwach integrierbar"- als Flächeninhalt wie es bei der Fall ist, sondern "die Fläche wächst quadratisch im unendlich"- -- aka man addiert immer größer werdende Zahlen auf.

Also kurz: Die Funktion ist in keinem -Raum.

Zu b): Ich verstehe deine Argumentation nicht, aber im Gegensatz zu a) liegt die Funktion in allen -Räumen.

Zu c) Wie bei a) integrierst du eine positive Funktion und bekommst 0 raus. Die Funktion ist tatsächlich in L^1, aber du hast wieder die Stammfunktion ohne den Betrag gebildet.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation berechnen
Oh... war wohl schon etwas müde gestern, macht Sinn was du geschrieben hast...

Vielen Dank smile
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Fouriertransformation berechnen
Zum gleichen Thema habe ich noch gerade eine ähnliche Frage, deswegen poste ich sie gleich hier:

Ich muss die Integrale

,

berechnen. Beim ersten benutzte ich die charakteristische Funktion und den Satz von Plancherel, jetzt frage ich mich, ob ich beim zweiten Integral ähnlich vorgehen kann (habs versucht, aber es hat nicht geklappt). Sieht jemand zufälligerweise gerade einen (einfachen) Weg für das zweite Integral?

Liebe Grüsse
Doutzi
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Berechne einfach mal die Fouriertransformierte von .
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Hier habe ich leider ein Problem: ich weiss nicht einmal, wie ich diese Faltung berechnen soll... Kannst du mir vielleicht helfen? Hatte genau diese Faltung auch mal als Übung auf einem Aufgabenblatt, aber ich konnte sie nicht lösen.

Die Formel lautet doch:



Oder? Aber wie mache ich jetzt weiter?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die rechte Funktion reduziert sich zu den Grenzen. Und dann gibts ein paar Fallunterscheidungen: Nämlich für y aus [-c, c], wann ist x-y in [-c,c]. Das gibt dann eine Hütchenfunktion.

Die F.Transformierte berechnet man dann auch nicht per Hand, sondern benutzt Rechenregeln.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich komme auf folgendes:



Dass x-y in [-c,c] liegt muss gelten:

x - c < y < x + c

Wobei ich hier dann folgende Fälle unterscheiden kann:

1.

2.

3.


Im 1. Fall gäbe es ja dann keine Lösung, da x-y nicht im Intervall [-c,c] liegt.
Im 2. und 3. Fall gäbe es somit eine Lösung.

Stimmt das soweit?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Damit weißt du schon einmal, dass , falls .
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre im 2. Fall die Lösung des Integrals x + 2c und im 3. Fall 2c - x?

D.h.

,

,

,

Welche Rechenregeln meintest du, als du sagtest, dass man die Fouriertransformierte damit und nicht von Hand ausrechnet?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr gut. Und worauf ich anspiele ist , mit einer Normierungskonstante, die von der Definition der Fouriertransformation abhängt.
Doutzi Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre



Um auf



zu kommen, müsste ich ja nun quasi die Fouriertransformierte quadrieren und mal Pi/2 rechnen... Bei einer Faltung gilt doch, dass das Resultat wieder in liegt. Falls ich zeigen kann, dass die Funktion auch in liegt, kann ich doch wieder Plancherel anwenden, oder?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fouriertransformierte liegt sogar in allen Räumen.

Allgemein sagt die Ungleichung von Young, dass für die Ungleichung gilt:
.

In dem Fall kann man es einfach sehen, weil man die Integrabilität von für leicht einsehen kann.
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