Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht

28.01.2015, 16:58

Haevelin

Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht

Die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu bekommen ist 0,5
a) Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit vier Jungen zu bekommen
b) Der älteste Sohn ist ein Junge, wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit vier Jungen zu haben?
c) Man weiß, dass einer der vier Nachfahren ein Junge ist. Wie hoch ist dann die Wahrscheinlichkeit vier Jungen zu haben?

29.01.2015, 12:12

h4mmer

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RE: Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht
Hallo,

Abgesehen davon, dass wichtige Informationen fehlen, wo sind denn deine Ansätze?

Um wieviele Kinder geht es denn?
Sind die Wahrscheinlichkeiten undabhängig? (davon gehe ich aus)
Was soll den ein Nachfahre sein? Das zweite, dritte, oder vierte Kind?

Gruß

29.01.2015, 12:58

Haevelin

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RE: Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht
Es geht um vier Jungen, die ein Eltern haben. Die Ereignisse sind unabhängig voneinander. Nachfahre ist also der älteste Sohn, der zweitälteste Sohn, der drittälteste Sohn, der viertälteste Sohn.

29.01.2015, 16:03

h4mmer

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RE: Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht

Zitat:

Es geht um vier Jungen, die ein Eltern haben.

Was soll das denn bedeuten???

Zitat:

Um wieviele Kinder geht es denn?

Ich vermute mal es sieht so aus:

Eine Mutter hat vier (???) Kinder, das Geschelcht alle Kinder ist unabhängig voneinander mit Ws 0.5, ein Junge zu sein.

Zitat:

wo sind denn deine Ansätze?

29.01.2015, 18:11

Haevelin

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RE: Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht
Ja, das ist gemeint. Was für Ansätze? Ich habe im ersten fall für (0,5)^4 entschieden, im zweiten Fall für (0,5)^3 und im dritten Fall für 4*(0,5)^3 - hat das Zukunft?

29.01.2015, 18:26

h4mmer

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RE: Wahrscheinlichkeiten für Jungen gesucht

Zitat:

hat das Zukunft?

Auf jeden Fall.

a) und b) sollten stimmen.

c) kann nicht stimmen. Stell dir vor die Wahrscheinlichkeit für einen Jungen wäre 0.9, dann würde bei dir eine Ws > 1 rauskommen.

MMn ist auch hier (0.5)^3 die Lösung, da ein Junge feststeht und die anderen unahängig vom selbigen eine Ws von 0.5 haben, selbst Jungen zu sein.

29.01.2015, 18:51

HAL 9000

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Zitat:

Original von h4mmer
MMn ist auch hier (0.5)^3 die Lösung

Nein: Gesucht ist hier die bedingte Wahrscheinlichkeit für vier Jungen unter der Bedingung, dass mindestens ein Junge dabei ist.

Genauso wie man b) interpretieren konnte als bedingte Wahrscheinlichkeit für vier Jungen unter der Bedingung, dass der älteste Nachkomme ein Junge ist. Dort stimmte der Wert $\begin{align*} 0.5^3 = \frac{1}{8} \end{align*}$ , hier bei c) aber nicht.

P.S: Mir fällt gerade die Formulierung

Zitat:

Original von Haevelin
b) Der älteste Sohn ist ein Junge

auf...

Ich gehe mal davon aus, dass du da eigentlich

Zitat:

b) Der älteste Nachkomme ist ein Junge

meinst.

29.01.2015, 19:57

Haevelin

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Für die letzte Lösung habe ich Binominalverteilt gerechnet. Also explizit:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *(0,5)^3*(0,5)/(0,5).

Das wäre dann bei 0,9:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ *(0,9)^3*(0,1)/(0,9) = 0,324

30.01.2015, 19:27

Dopap

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c.) Meiner Meinung nach kann man so verfahren:

Sei J die Anzahl der Jungens, dann ist $\begin{eqnarray*} p(J=4|J\geq 1) \end{eqnarray*}$ gesucht.

nach Bayes gilt $\begin{eqnarray*} p(J=4|J\geq 1)= \frac {p(J\geq 1| J=4) \cdotp p(J=4)}{p(J\geq 1)} \end{eqnarray*}$ mit

$\begin{eqnarray*} p(J=4)=\frac {1}{16}=0.0625 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(J\geq 1)=\frac {15}{16}=0.9375 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(J\geq 1| J=4)=1 \end{eqnarray*}$ (?) folgt

$\begin{eqnarray*} p(J=4|J\geq 1)= \frac {1 \cdotp \frac {1}{16}} { \frac {15}{16}}=\frac {1}{15} \approx 0.0667 \end{eqnarray*}$

plausibel wäre das schon, da sich die Wkt. für J=4 erhöht hat.

30.01.2015, 21:01

HAL 9000

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Im Endergebnis richtig, aber es geht auch direkt über die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit:

$\begin{align*} P(J=4 \bigm| J\geq 1) = \frac{P(J=4 \,\wedge\, J\geq 1)}{P(J\geq 1)} = \frac{P(J=4)}{P(J\geq 1)} = \frac{\frac{1}{16}}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{15} \end{align*}$

Zitat:

Original von Dopap
$\begin{eqnarray*} p(J\geq 1| J=4)=1 \end{eqnarray*}$ (?)

Ich deute das (?) mal so, dass da noch Erklärungsbedarf besteht? Nun, unter der Bedingung $\begin{align*} J=4 \end{align*}$ ist das Ereignis $\begin{align*} J\geq 1 \end{align*}$ natürlich automatisch erfüllt, also klar mit Wahrscheinlichkeit 1.

30.01.2015, 21:13

Dopap

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beim Satz von Bayes steht als erstes bei Wiki die von mir verwendete Formel

Zitat:

Original von HAL 9000
Nun, unter der Bedingung $\begin{align*} J=4 \end{align*}$ ist das Ereignis $\begin{align*} J\geq 1 \end{align*}$ natürlich automatisch erfüllt, also klar mit Wahrscheinlichkeit 1.

das dachte ich mir auch. Das (?) war nur vorsichtshalber Augenzwinkern

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