Konvergenz, Leibniz

01.02.2015, 10:32

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Konvergenz, Leibniz

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((-1)^n*n-1)/n^2 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
ich möchte bei dieser Reihe das Leibnitz Kriterium anwenden.
Ich sehe, dass die Reihe alternierend ist und die geraden sowie die ungeraden n's eine monoton fallende Nullfolge bilden.
Allerdings bilden die Beträge der gesamten Folge keine monoton fallende Nullfolge :-(

Kann ich das Leibnitz-Kriterium trotzdem anwenden (da ja die Teilfolgen monoton fallende Nullfolgen sind) oder muss ich diese Summe Aufspalten?

Edit Guppi12: Verschoben, Latex korrigiert und Folgebeitrag entfernt. Keine vollständige Korrektur, da sonst die anderen Beiträge nicht mehr nachvollziehbar wären.

01.02.2015, 10:38

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((-1)^n*n-1)/n^2 \end{eqnarray*}$

Du meinst $\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^k\cdot (k-1)}{k^2} \end{eqnarray*}$ ?

01.02.2015, 12:18

000

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RE: Konvergenz, Leibnitz
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((-1)^n*n-1)/n^2 \end{eqnarray*}$

so ist die Reihe gegeben Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.02.2015, 12:20

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RE: Konvergenz, Leibnitz
und n geht gegen unendlich smile

smile

01.02.2015, 12:26

Captain Kirk

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Es ist: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((-1)^n*n-1)/n^2 =n \cdot \frac{(-1)^n n-1}{n^2}= (-1)^n - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ und damit divergent.

Das was bijektion schreibt macht als Aufgabenstellung mehr Sinn.

01.02.2015, 13:02

000

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^n*n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$

So steht die Reihe da.
(Hab endlich herausgefunden wie man Brüche macht Freude

Freude

)

und diese Reihe ist meiner Meinung nach nicht divergent!!!

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01.02.2015, 13:05

Captain Kirk

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Meiner Meinung nach ist sie divergent, ich hab's bereits begründet.
hast du eine Begründung deiner Aussage außer drei Ausrufezeichen?

01.02.2015, 13:14

Iorek

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@Kirk,

wo nimmst du in

Zitat:

Original von Captain Kirk
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n ((-1)^n*n-1)/n^2 =n \cdot \frac{(-1)^n n-1}{n^2}= (-1)^n - \frac{1}{n} \end{eqnarray*}$

denn den zusätzlich Faktor $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ her? verwirrt

verwirrt

01.02.2015, 13:19

Captain Kirk

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@Iorek:
Es sind n (konstante) Summanden.

01.02.2015, 13:21

Iorek

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Ok, da hab ich gutgläubig nicht auf den Summationsindex geachtet. Alles klar. Wink

Wink

01.02.2015, 13:23

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^n*n-1}{n^2} = \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^n}{n}-\sum\limits_{k=1}^n \frac{1}{n^2} \end{eqnarray*}$

die erste Teilsumme setzt sich aus einer alternierenden monoton fallenden Nullfolge zusammen und ist somit konvergent. die zweite Teilsumme ist ohnehin konvergent, somit ist die gesamte Reihe konvergent.

Aber nun zu meiner ursprüunglichen Frage:
Muss ich die Summe aufspalten oder kann ich direkt Leibnitz anwenden?????

01.02.2015, 13:33

URL

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{\bf\textcolor{red}{k}=1}^n \frac{(-1)^{\textcolor{blue}{n}}*n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$
siehst du es jetzt?

01.02.2015, 13:35

Captain Kirk

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Zitat:

die erste Teilsumme setzt sich aus einer alternierenden monoton fallenden Nullfolge zusammen

Nein ist sie nicht. Die Folge ist konstant, da du über k summierst.

Und der gute Mann schreibt sich Leibniz.

Zitat:

Muss ich die Summe aufspalten oder kann ich direkt Leibnitz anwenden?????

Du kannst Leibniz nicht anwenden, weil die Summe/Reihe so wie du darauf beharrst sie zu schrieben nicht alternierend ist.

01.02.2015, 13:42

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$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n*n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$

dann stehts halt so da.
schuldige wenn ich mich nicht so richtig auskenne mit den ganzen formeleditor hier auf der Homepage....

und dann nochmal meine frage: s.o.

01.02.2015, 14:28

Iorek

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Das hat weniger mit dem Formeleditor zu tun. Es gibt durchaus solche "Fangfragen", wo man vorschnell auf Konvergenz schließen würde. Wenn das dann dreimal in dieser Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^n \frac{(-1)^n\cdot n-1}{n^2} \end{eqnarray*}$ wiederholt wird, dann geht man davon aus, dass die zu betrachtende Reihe eben auch so da steht.

Wenn jetzt $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\cdot n -1}{n^2} \end{eqnarray*}$ die korrekte Reihe ist, dann darfst du nicht direkt das Leibnizkriterium anwenden, da nicht der gesamte Ausdruck alterniert. Mit der Begründung, dass die einzelnen Reihen konvergent sind, darfst du die Reihe aber in zwei Reihen aufteilen.

01.02.2015, 14:58

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ok. Dankeschön und nochmals schuldigung wegen der falschen angabe !!!

aber der gesamte ausdruck alterniert ja oder??

wenn ich die folge betrachte und nacheinander die n's einsetze, dann:

folge: an

a1= -2
a2= 1/4
a3= -4/9
a4= 3/16
usw....

also das vorzeichen wechselt ja.

01.02.2015, 15:30

Iorek

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Für das Leibnizkriterium benötigst aber streng genommen eine Reihe der Form $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^na_n \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ eine monoton fallende Nullfolge ist. Das liegt hier (noch) nicht vor. Du müsstest das also zumindest umformen und nachweisen, dass die entstehende Folge monoton fällt und gegen 0 konvergiert.

01.02.2015, 18:23

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ich kann ja folgendes sagen:

$\begin{eqnarray*} a_{2n}=\frac{1*(2n)-1}{4n^2} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} a_{2n+1}=\frac{(-1)*(2n+1)-1}{4n^2-1} \end{eqnarray*}$

wenn ich das so schreibe, dann sind beide teilfolgen monoton fallende nullfolgen und somit sollte die gesamte reihe konvergieren.

liege ich da richtig??

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