Bestimmen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist

02.02.2015, 20:57	Max14	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimmen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist Hallo! Diesmal geht es darum, festzustellen, ob eine Matrix diagonalisierbar ist, und ich tu mich echt schwer damit, da ich es nicht so richtig verstehe.. Ich habe also erstmal, det(A - xE) gerechnet (x steht für Lambda, da ich nicht weiß, wie man es hier schreibt). Das Ergebnis ist -x³+5x²-8x+4 Die Nullstellen habe ich berechnet, und es kommt raus x1 = 1, x2 = 2, x3 = 2 Daraus folgt schonmal, algebraische Vielfachheit für Eigenwert 2 = 2 Nun hab ich A - xE mit x = 2 berechnet, also A - 2E Das ist also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & -6 & -6 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nach ein bisschen umformen mit Gauß um auf eine Dreiecksmatrix zu kommen, kommt man dann auf die Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & -6 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Dafür habe ich dann zum Beispiel die Eigenvektoren $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0,5 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ bestimmt, welche meines Erachtens linear unabhängig sind (vielleicht irre ich mich auch). Dass wären ja schonmal 3, was größer 2 wäre. Laut dem Satz "Ist A diagonalisierbar, so gilt für jeden Eigenwert von A, dass die geometrische Vielfachheit gleich der algebraischen Vielfachheit ist." wäre die Matrix also nicht diagonalisierbar. Ist das so richtig? Ich hab heute den ganzen Tag versucht es irgendwie zu verstehen, und das ist nun das, worauf ich gekommen bin. Ich bin für jede Hilfe sehr dankbar!
02.02.2015, 21:14	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Es ist ganz einfach: Deine Vektoren sind nicht linear unabhängig. Der dritte ist die Summe aus dem zweiten und der Hälfte des ersten.
03.02.2015, 00:09	Max14	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke schon mal für den Tipp. Ich habe es nun geschafft, die Aufgabe zu lösen. Bei der nächsten geht es nun darum, festzustellen, ob diese Matrix A ähnlich zu zwei anderen Matrizen B und C ist. Ich habe schon nachgeprüft, B und C haben die gleichen Eigenwerte wie A. Wenn ich zeige, ob B und C diagonalisierbar sind, gilt das als Beweis, dass A ähnlich, bzw. nicht ähnlich zu B und/oder C ist? Sprich, seien P und Q invertierbare Matrizen. P^-1 * A * P = D = Q^-1 * B * Q daraus folgt , A ist ähnlich zu B? Ich habe nun noch ein bisschen weitergerechnet, und festgestellt, dass B diagonalisierbar ist, und C nicht. Ich denke, dass ich deswegen sagen kann, dass A und C nicht ähnlich sind, aber kann ich sagen dass A und B ähnlich sind?

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