Kern einer linearen abbildung

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Timf Auf diesen Beitrag antworten »
Kern einer linearen abbildung
Meine Frage:
Hallo smile Mir ist gerade aufgefallen dass bei linearen abbildungen alle elemente der Bildmenge die mehrere Urbilder besitzen automatisch im kern der abbildung liegen. Meine frage ist: wieso?

Meine Ideen:
Ich habe versucht es mit den bedingungen einer linearen abbildung herzuleiten( F(x)-F(z)=F(x-z)) aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig. Danke im voraus, Tim
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Willkommen im Matheboard! smile

Das kann nicht stimmen. Der Kern ist eine Teilmenge der Definitionsmenge.
Du sagst aber, dass Elemente der Bildmenge im Kern liegen sollen.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Abend,

zunächst einmal muss eine lineare Abbildung, bei der Elemente aus der Bildmenge auch im Kern liegen können eine Abbildung sein, die in die gleiche Menge abbildet, auf der sie auch definiert ist. Ist dir das klar? Sonst macht diese Aussage garkeinen Sinn. Aber selbst wenn das gegeben ist, stimmt deine Vermutung nicht. Sieh dir beispielsweise

an.

Edit: Bin weg Augenzwinkern
Timf Auf diesen Beitrag antworten »

Danke smile
Ah, sorry! habe gemeint dass die urbilder jeweils im kern liegen. Also im fall f(x1)=f(x2) folgt klarerweise x1-x2 ist im kern, aber mir scheint es als wären x1 und x2 auch einzeln im kern enthalten.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Und was ist dann mit ? Augenzwinkern
Timf Auf diesen Beitrag antworten »

Bin mir nicht sicher dass ich verstehe was du meinst. Im fall x1=x2 folgt dass 0 im kern ist, aber mich verwirrt die tatsache dass die 0 das einzige element ist das mehrere verschiedene Urbilder haben kann, falls die abbildung linear ist.

Also eigentlich warum aus der tatsache dass der Kern der abbildung nur den Nullvektor enthält folgt dass sie injektiv ist.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das Beispiel von Guppi12 ist hervorragend gewählt, denn es ist eine Projektion auf einen echten Teilraum. Wegen liegen die Urbilder von nicht im Kern. Die "Timf'sche Vermutung" ist damit widerlegt und erhält nicht die Fields-Medaille.
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast behauptet, wenn ist, dann sind .
Wenn man jetzt ein beliebiges Element aus der Definitionsmenge nimmt, dann gilt natürlich , womit dann auch sein müsste.
Das würde also bedeuten, dass alle Elemente aus der Defintionsmenge im Kern liegen, was nicht stimmen kann.

Zitat:
Original von Timf
Also eigentlich warum aus der tatsache dass der Kern der abbildung nur den Nullvektor enthält folgt dass sie injektiv ist.

Aus folgt . Wenn nur der Nullvektor im Kern liegt, dann muss also der Nullvektor sein, und damit .
Timf Auf diesen Beitrag antworten »

Ah!! Jetzt verstehe ich, aus der tatsache dass ein element mehrere urbilder besitzt folgt nicht dass die urbilder im kern liegen, es folgt aber zwingenderweise dass der kern nicht 0 ist.
Mich hatte verwirrt dass die dimension des Raumes der elemente mit mehreren Urbildern dieselbe ist wie die dimension des Kerns. (Ich hoffe das stimmt zumindest)
Danke! smile
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt natürlich auch nicht. Projiziere den auf einen , dann ist dim Kern=2, dim Bild=1 und jedes Element im Bild hat unendlich viele Urbilder.
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