Galoiserweiterung |
05.02.2015, 12:11 | Krill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Galoiserweiterung sei f= Bestimmen Sie: a) den Zerfällungskörper L von f über Q und den Grad [L:Q] b) die Galoisgruppe G von f, ist G abelsch? c) alle Zwischenkörper der Erweiterung L/Q. Welche Zwischenkörper sind galoisch über Q d) Die Bahnen und Stabilisatoren der sechs Nullstellen unter der (natürlichen) Operation von G. Meine Ideen: a) Hier vermute ich eine Falle, da die Nullstellen von ja auch schon in versteckt sind. Was ich meine ist, dass ich aus den Nullstellen und wobei eine dritte Einheitswurtsel ist, sämtliche Nullstellen finden kann. Mit Gradsatz, Eulersche Phi Funktion und mit der Teilerfremdheit von 2 und 3 denke ich, dass [L:Q]=6, wobei L der Zerfällungskörper ist. b) Da der Grad der Erweiterung 6 ist, kann man zeigen, dass die Galoisgruppe isomporph zur S_3 ist und somit nicht abelsch. c) Die Zwischenkörper sind nach Hauptsatz der Galois-Theorie gerade die Untergruppe der S_3, wobei nur die A_3 ein Normalteiler der S_3 ist und somit nur galoisch über Q. d) Ersmal hätte ich gerne gewusst ob a-d passen, da ich mir nicht ganz sicher bin, da ich ja einen Faktor des Polynoms mehr oder weniger vernachlässige. Weiter haben wir zur Gruppenoperationen nicht wirklich viel gemacht und ehrlich gesagt habe ich keine Ahnung, wie ich an die d) herangehen soll und wäre für Hilfe sehr dankbar Danke |
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05.02.2015, 12:46 | bijektion | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was heißt versteckt? Schreib doch erstmal alle Nullstellen hin Bei b) solltest du das aber begründen. |
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05.02.2015, 13:14 | Krill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Nullstellen sind 1, , und sowie Ich weiß dass man in der b begründen muss aber ist so viel Schreibarbeit ich habe mir die Homomorphismen hingeschrieben wie sie die Nullstellen permutieren und deren Ordnungen. = dritte EInheitswurzel Ordnung =1 und Ordnung=2 und Ordnung=3 und Ordnung=2 und Ordnung=2 und Ordnung=3 Ich denke es geht eleganter jetzt habe ich eine Gruppe mit 6 Elementen, die die Nullstellen permutiert also Untergruppe der S_3, da die Ordnung der Gruppe und der Untergruppen mit deren der S_3 übereinstimmen sollten diese isomorph sein |
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05.02.2015, 13:18 | Krill | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ups mir sind noch 2 Nullstellen untern Tisch gefallen es fehlt noch und |
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