Rechnen mit Dichten

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Rechnen mit Dichten
Hallo zusammen,

ich habe einige Fragen bzgl. folgender Aufgabe:


Es sei




Bestimmen Sie zunächst die Konstante so, dass f eine Wahrscheinlichkeitsdichte ist.

Lösungsvorschlag:


Die Funktion ist genau dann eine Wahrscheinlichkeitsdichte, wenn gilt:



Berechnen wir also das Integral, um so die Konstante festzulegen:





1.Frage: Was sagt die Indikatorfunktion hier gerade aus?




2.Frage. Was wurde hier gemacht, also warum ist die Indikatorfunktion verschwunden?

Da die Funktion gerade in beiden Variablen, ist der Wert des Integral in allen 4 Quadranten identisch. Da
wir über zwei Quadranten integrieren, ergibt das die Hälfte des Wertes der Integration über die ganze Ebene.

3. Was wird hier genau ausgesagt? Welche Auswirkung hat das auf folgende Rechnung? Ja, aber ich verstehe die Idee dahinter nicht.
Wieso verschwindet der 2. Summand vom Integral?




4. Frage: c aus dem Integral rausgezogen, ok. Wurde hier mit substituiert? Aber wie verändern sich die Integralgrenzen, dann?
Da wir einmal und haben, müssen doch zwei Substitutionen stattgefunden haben, oder?




das ergibt 1, das habe ich nachgerechnet, aber ich habe immer noch nicht verstanden wie sich die Grenzen geändert haben.
Ab hier ist alles wieder klar, einfach runterrechnen, aber wie man bis hier hin kommt habe ich nicht verstanden...



Da dieses Integral den Wert 1 haben soll, ergibt sich für unsere Konstante :


Ich hoffe, jemand kann mir helfen Freude smile
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
1.)

Zitat:


Da sollte man schon genauer sein:



Naja, die Indikatorfunktion nimmt den Wert an, falls und sonst.


2.) Im ersten Integral gilt . Dann muss ja gerade (siehe 1) gelten, damit der Integrand nicht Null ist.

Analog das 2. Integral.

3.)

Die Idee ist, dass die zu integrierende Funktion in allen Quadranten Gleich aussieht, das Vorzeichen der x und y also keine Auswirkungen hat (aufgrund des Quadrierens). Damit ist es egal, über welche Quadranten man integriert.
Beim ersten Integral wird über den 2. Quadranten integriert, beim zweiten über den 4. Quadranten.
Damit wird insgesamt über 2 Quadranten integriert. Also kann man auch über alle 4 integrieren und dann halbieren.

4.) Polarkoordinaten
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Danke 1nstinct. Freude

Also 1) und 2) habe ich nun verstanden.
Aber 3) das mit den Quadranten verstehe ich gar nicht. Ich kann mir irgendwie nichts darunter vorstellen. Man integriert doch über x oder y, aber wieso Quadranten? Hast du eventuell ein Bild für mich?

4) Warum bietet sich hier Polarkoordinaten an? Geht das nicht anderst?
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
1) Ist dir klar, dass das Vorzeichen keine Auswirkungen hat?

2) Die Quadranten stellen die Mengen dar, über die integriert wird.

Mal die mal die Menge und auf. Du wirst feststellen, dass dies der komplette 2. Quadrant ist.
Analog die Menge, über die im zweiten Integral integriert wird. -> 4. Quadrant.

und ergibt komplett , also alle 4 Quadranten.

Da die Funktion auf allen Quadranten gleich ist, man aber nur über 2 der 4 integriert, muss man halt die Hälfte nehmen.



Zitat:
4) Warum bietet sich hier Polarkoordinaten an? Geht das nicht anderst?

Merkst du nicht, wie einfach es dadurch wird? Versuch doch mal eine Stammfunktion von zu finden...
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
1) das mit den Vorzeichen habe ich nicht ganz verstanden. Auf was hat es keine Auswirkung. Es sind ja nur die Fälle: und oder und möglich, laut Indikatorfunktion.

2) das habe ich nun verstanden. Die Integrale sind auf dem 2. und 4. Quadranten definiert. Die Menge selbst ist aber der ganze , also müssen wir die Hälfte nehmen.

3) Ja mit den Polarkoordinaten ist das deutlich einfacher zu integrieren, ich verstehe aber nicht wie ich das verwenden muss jetzt bei dieser Aufgabe:

Es gilt ja:



Aber wie komme ich nun von:



auf:



Das einzige was mir gerade auffällt ist, dass ich mit eben mit ersetzen kann.

Aber wie sieht es mit den Grenzen und dem Rest aus?

Vielen Dank, dass du dir Zeit nimmst 1nstinct Freude smile
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Ok, zuerst musst du verstehen, dass wir nicht mehr
Zitat:
sonder die Funktion

(vgl dein 1. Beitrag nach Frage 1.) betrachten.



Hier hat das Vorzeichen von x bzw. y keine Auswirkungen, es gilt also

(warum?)



Zitat:
Die Menge selbst ist aber der ganze
Welche Menge?




Zitat:
Aber wie komme ich nun von: auf:


Wo genau liegt hier das Problem?
1) Das zusätliche "r" ist die Determinante der Jaccobimatrix.
2) Zu den Grenzen stelle ich mir das so vor: könnte man ja als einen Kreis um den Ursprung mit unendlichem Radius vorstellen. -> Grenzen für
3) Da der Kreis komplett ist, läuft von bis
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Zitat:
Original von 1nstinct
Ok, zuerst musst du verstehen, dass wir nicht mehr
Zitat:
sonder die Funktion


Okay, das habe ich verstanden.

Zitat:

Hier hat das Vorzeichen von x bzw. y keine Auswirkungen, es gilt also

(warum?)


Weil sowohl x als auch y quadriert werden.

Zitat:

Zitat:
Die Menge selbst ist aber der ganze
Welche Menge?




Zitat:

Wo genau liegt hier das Problem?
1) Das zusätliche "r" ist die Determinante der Jaccobimatrix.
2) Zu den Grenzen stelle ich mir das so vor: könnte man ja als einen Kreis um den Ursprung mit unendlichem Radius vorstellen. -> Grenzen für
3) Da der Kreis komplett ist, läuft von bis


Das Problem liegt darin, dass ich nicht verstehe, was an dem Integral "geändert" wird.

Das ist mir klar, aber wie bekomme ich dann raus?
Woher kommt das vor dem also, .
Ich weiß nicht wie ich da vorgehen muss, das ist das Problem. Beim Substituieren ist es ja so, dass man einen Ausdruck substituiert und dann mit der Substitution durch einsetzen der alten Integralgrenzen die neuen Grenzen bekommt und durch umstellen auch das neue . Was wird denn hier gemacht? Wie komme ich auf und , das möchte ich gerne verstehen.
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Zitat:
Die Menge selbst ist aber der ganze Welche Menge?


Nein im Integral 1.Beitrag nach Frage 3 wir eben über ganz R^2 integriert, das ist die "Menge".


Informiere dich über Polarkoordinatentransformation. Das ist im übrigen (so wie fast die gesamt Aufgabe) nur Analysis. Falls du die entsprechenden Vorlesungen noch nicht hattest, wirds schwierig.
Allerdings denke ich, dass ihr die Transformationsformel hattet (bei mir Ana3).
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Okay danke dir.

Freude
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Rechnen mit Dichten
Hab mir grad ein Video über Polarkoordinatentransformation angeschaut.
Hat jetzt geklappt. Auch mit den Grenzen Freude

Ich danke dir Wink
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