Dichte - Gleichverteilung

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Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »
Dichte - Gleichverteilung
Hallo zusammen,

ich habe einige Fragen zu folgender Aufgabe:

Gegeben seien zwei Zufallsvariablen X und Y , die die gemeinsame Dichte



mit



und



Zeigen Sie:

a) ~ .

1. Frage: Wir sollen doch zeigen, dass die Zufallsvariable X auf dem Intervall [0,a] bleichverteilt ist, richtig?


Lösungsvorschlag:

Zunächst eine Skizze. darf offensichtlich zwischen den beiden Geraden und liegen,
das heißt wir müssen nur diese beiden Geraden für den Definitionsbereich [0, a] zeichnen: (siehe Skizze)

2. Frage: Die Skizze ist verständlich, aber was bringt sie mir? Könnte ich nicht einfach drauf losrechen? Die Skizze sagt doch nur, dass die das Integral oder die Funktion zwischen den zwei Geraden definiert ist, also in dem Rechteck B. Aber was soll ich mit dieser Information anfangen?

a) Ist eine Dichte von X, so gilt für :

3. Frage: Warum argumentieren wir hier mit der Dichtefunktion? Die Eigenschaft der Gleichverteilung ist ja im stetigen Fall, dass sie konstant ist. Müssen wir also zeigen, dass bei der Dichtfunktion das Ergebnis konstant ist?



4. Frage: Wieso integrieren wir nach ? Warum nicht nach ?

und für ist . Damit folgt ~ .


5. Frage: Die wichtigste Frage überhaupt, damit ich das ganze auch verstehe. Was haben wir jetzt gezeigt? Wir wissen, dass die Dichtfunktion von der Zufallsvariable eine Konstante ist, da , daraus folgt X ist gleichverteilt? Warum ist , wenn .


Ich wäre Euch wirklich sehr sehr dankbar, wenn ihr mir bei den Fragen helfen würdet. Das würde meine Verständnislücken füllen. Freude Freude Freude
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dichte - Gleichverteilung
Hi,

1) Genau.

2) Klar, du kannst auch gleich losrechnen, die Skizze dient nur zum Verständnis.

3) Naja, du hast eine gemeinsame DICHTEfunktion gegeben, da bietet es sich doch an, mit dieser zu rechnen.



Zitat:
Die Eigenschaft der Gleichverteilung ist ja im stetigen Fall, dass sie konstant ist

Da musst du sehr vorsichtig sein. Die DICHTEfkt der Gleichvert. ist konstant über einem (!) Intervall.
Sei die Länge dieses Intervalls , dann gilt: und sonst.


Zitat:
Müssen wir also zeigen, dass bei der Dichtfunktion das Ergebnis konstant ist?

Konstant mit dem Wert für .

4) Formel für die Randverteilung von X.

5) Mmn sehr schlechte Rechnung, da die Indikatorfunktion einfach nur nach y ausgewertet wird, die Abhängigkeit dieser von x unterschlagen wird und am Ende einfach wieder dazukommt.

Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Okay super danke dir vielmals 1nstinct. Freude

Bei der b) soll man die Dichtefunktion für angeben.

Das Problem ist, ich verstehe nicht so ganz, wie man auf die Integralgrenzen kommt.

Wenn ist, wieso ist dann ?
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Indikatorfunktion geeignet umformen und
Zitat:
verwenden smile .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft dir auch die geometrische Deutung, siehe Skizze:

[attach]37161[/attach]

In diesem Fall ist der Dichtewert gleich der Länge der roten Strecke dividiert durch .

Genau dasselbe gilt auch für die anderen Fälle, nur schneiden da diese zur x-Achse parallelen Geraden das Parallelogramm z.T. an anderen Kanten.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Danke euch.

Also für den Fall hab ich das jetzt irgendwie so gemacht:

für

gilt:



Betrachte linke Seite:



Betrachte rechte Seite:



Also folgt:



Ich merk schon selbst, dass das sehr schwammig ist, aber hmm... was meint ihr?

Was kann ich denn genau umformen? Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen bitte.

Ich komme leider nicht drauf...
 
 
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

sorry dieser Post war ausversehen, bitte löschen
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Wir betrachten







Es gelte

Dann gilt:



Daher folgen die Grenzen fürs erste Integral. Rest sollte analog gehen.
Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich bin einfach zu blöd dafür.



Das bekomme ich noch hin.

Aber von



Auf



zu kommen, ist mir ein Rätsel... verwirrt verwirrt
1nstinct Auf diesen Beitrag antworten »

Aus folgt:



Da Gleichzeitig gelten muss sowie

,

reduziert sich die Menge der Indikatorfunktion also auf

Mathelover Auf diesen Beitrag antworten »

Endlich hab ich es verstanden.

Stichwort: "abschätzen"

Ich danke dir Freude Freude Freude
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