LGS mit 4 Unbekannten

08.02.2015, 16:44

Rivago

LGS mit 4 Unbekannten

Lösen Sie das angegebene lineare Gleichungssystem

$\begin{eqnarray*} x - y + 2z - w = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x + y - 2z - 2w = -2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -x + 2y - 4z + w = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x + 0 + 0 - 3w = -3 \end{eqnarray*}$

So, dann sieht es bei mir so aus:

$\begin{eqnarray*} x - y + 2z - w = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 3y - 6z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + y - 2z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 3y - 6z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Dann der nächste Schritt

$\begin{eqnarray*} x - y + 2z - w = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 3y - 6z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Aber in der 2. Zeile scheint ein Fehler zu sein, denn in der Lösung steht folgendes:

$\begin{eqnarray*} x - y + 2z - w = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + y - 2z + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

Wo ist denn mein Fehler? verwirrt

Und dann gleich weiter: Ich hab ja nun 2 Nullzeilen. Ich muss also 2 Parameter einführen. Wie geht das genau`?

08.02.2015, 17:49

Rivago

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Niemand?

08.02.2015, 17:58

Dopap

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beide sind richtig !

Die 2. Zeile wurde mit 3 dividiert.

wähle z.b. $\begin{eqnarray*} w=\lambda , z=\mu \end{eqnarray*}$ und setze ein.

08.02.2015, 18:13

Rivago

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Okay, aus welchem Grund? Einfach damit es handlicher wird?

Also dann bekomm ich als Lösung $\begin{eqnarray*} y = 3u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -1 + u - \lambda \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?

Edit:

Sorry, hab mich verrechnet.

$\begin{eqnarray*} y = 2u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -1 + \lambda \end{eqnarray*}$

Edit 2:

Kann man frei wählen, welche Paramater man nimmt und wo man sie zuordnet?

Hätte ich also auch zb folgende Parameter so wählen können? $\begin{eqnarray*} y = \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = u \end{eqnarray*}$

08.02.2015, 19:39

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago
Okay, aus welchem Grund? Einfach damit es handlicher wird?

ja.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = 2u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -1 + \lambda \end{eqnarray*}$

stimmt so.

Zitat:

Kann man frei wählen, welche Paramater man nimmt und wo man sie zuordnet?

Hätte ich also auch zb folgende Parameter so wählen können? $\begin{eqnarray*} y = \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z = u \end{eqnarray*}$

ja.

Es fehlt noch die Darstellung aus welcher die Hyperebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$
ersichtlich wird.

08.02.2015, 22:56

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap
Es fehlt noch die Darstellung aus welcher die Hyperebene im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$
ersichtlich wird.

Was meinst du damit?

Ist $\begin{eqnarray*} y = 2u \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x = -1 + \lambda \end{eqnarray*}$ jetzt meine Lösung? Was ist mit z und w? Haben die als Lösung den eingeführten Parameter u und Lambda??

09.02.2015, 02:13

Dopap

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$\begin{eqnarray*} x=-1+\lambda \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=2\mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=\mu \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} w=\lambda \end{eqnarray*}$

und das schreiben wir mit Vektoren $\begin{eqnarray*} \in \mathbb R^4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \vec x =\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ w \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} +\lambda \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} +\mu \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 0\end{pmatrix} \quad \lambda , \mu \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

Man erkennt jetzt die beiden Spannvektoren der Hyperebene. smile

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