Kurvenschar

08.02.2015, 17:02

Cravour

Kurvenschar

Hallo, ich löse gerade einige Aufgaben und komme bei diesen nicht richtig weiter; wäre lieb, wenn mir jemand helfen könnte smile

.

Gegeben ist die Funktionsschar $\begin{eqnarray*} f_a(x)=\frac{a \cdot x²+5}{3x-1}, a>0 \end{eqnarray*}$ .

1) Wie verhält sich die Funktion f_a bei Annäherung an die Definitionslücke bei x=-1/3?
2) Für welchen Wert von a liegt ein Extremum von f_a im Punkt E(-1 l f_a(-1))? Bestimmen Sie für diese Funktion das zweite Extremum.
3) Weisen Sie nach, dass alle Funktionen f_a die y-Achse im gleichen Punkt schneiden und dort eine gemeinsame Tangente haben.
4) Zeigen Sie, dass sich der mittlere Anstieg und der maximale Anstieg der Funktion f_3 im Bereich von x=-5 bis x=-3 um weniger als 5% unterscheiden.

Zu 1) Mein erstes Problem: Bei x=-1/3 ist doch gar keine Definitionslücke, sondern bei x=1/3? Wie auch immer, ich habe dann einfach x=1/3 verwendet und komme auf $\begin{eqnarray*} + \infty \end{eqnarray*}$ , wenn ich es in den Taschenrechner eingebe. Löse ich es aber per Hand mit der Regel von de l'Hospital, erhalte ich als Grenzwert $\begin{eqnarray*} \frac{2a}{9} \end{eqnarray*}$ .

Zu 2) Ich erhalte den Wert a=-5/9, aber in der Aufgabenstellung ist a>0 definiert, deshalb kann das ja nicht stimmen. Hier habe ich einfach f_a'(-1)=f_a(-1) gleichgesetzt und nach a umgeformt.

Zu 3) $\begin{eqnarray*} y=\frac{a \cdot 0²+5}{3 \cdot -1} \end{eqnarray*}$
-> y=-5 ist der Schnittpunkt für alle Funktionen f_a (unabhängig von a); stimmt das?

Tangente: m=f_a'(x) => f_a'(0)=-15; also ist die Steigung der Tangente m=-15 und n=-5
t(x)=-15x-5

Zu 4) Bei der Aufgabe blicke ich irgendwie gar nicht durch, hab es aber mal versucht:
Der mittlere Anstieg ist die Steigung der Sekante: $\begin{eqnarray*} \frac{f_3(-3)-f_3(-5)}{-3-(-5)}=\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$
Der maximale Anstieg: $\begin{eqnarray*} f'_3(-5)=\frac{15}{16} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} m_{max} - m_{Sekante} = \frac{15}{16}-\frac{9}{10}=0,0375 \end{eqnarray*}$

3,75% < 5%

Danke im voraus! smile

09.02.2015, 00:59

opi

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Zitat:

Zu 1) Mein erstes Problem: Bei x=-1/3 ist doch gar keine Definitionslücke, sondern bei x=1/3?

Ja, hier liegt anscheinend ein Druckfehler in der Aufgabenstellung vor. Ich weiß nicht, was Du nun mit dem Taschenrechner genau berechnet hast. Falls Du einen Wert rechts der Definitionslücke in f(x) eingesetzt haben solltest, müsstest Du dieses auch mit einem Wert links davon machen.
L'Hospital ist nicht anwendbar, die Voraussetzungen darfst Du bitte nachschlagen.

Zitat:

Zu 2) Ich erhalte den Wert a=-5/9, aber in der Aufgabenstellung ist a>0 definiert, deshalb kann das ja nicht stimmen. Hier habe ich einfach f_a'(-1)=f_a(-1) gleichgesetzt und nach a umgeformt.

Wie bestimmst Du denn normalerweise Extremstellen? Richtig, Du setzt die erste Ableitung gleich Null und nicht gleich der Funktion. Und so geht das hier auch. Du kannst $\begin{eqnarray*} f'_a(-1)=0 \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ auflösen.

Zu 3) Freude

(Fehlt nur 'ne Null im Latexaufschrieb)

Zu 4) Die Steigungen stimmen, aber hast Du auch ermittelt, daß es sich bei $\begin{eqnarray*} f'_3(-5) \end{eqnarray*}$ um das gesuchte Maximum handelt?
Aus absoluten Werten kannst Du Dir keine Prozentangaben zusammensubtrahieren, das ist Unfug. Augenzwinkern

Prozente beziehen sich immer auf einen Grundwert. Berechne doch z.B. einmal 105% von $\begin{eqnarray*} \frac{9}{10} \end{eqnarray*}$
Ist das mehr oder weniger als $\begin{eqnarray*} \frac{15}{16} \end{eqnarray*}$ verwirrt

09.02.2015, 16:50

Cravour

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Zu 1) Ich merke gerade, dass ich das gar nicht mit dem Rechner gemacht habe, sondern mir nur die Zeichnung angeschaut habe^^. Muss ich zwei Grenzwerte betrachten? +unendlich reicht als Lösung nicht?

Zu 2) Da hab ich wohl irgendeinen Mist gerechnet, den ich jetzt selber nicht mehr nachvollziehen kann Big Laugh

. Hier die neuen Extrema: E(-1 l -2) und E( (5/3) l (10/3) ).

Zu 4) Die maximale Steigung kann ja durch die Wendestellen bestimmt werden, aber... da hier keine Wendestellen existieren, habe ich um ehrlich zu sein einfach f'_3(-3)=(-16/5) und f'_3(-5)=(15/16) berechnet und beschlossen, dass letzteres die maximale Steigung ist, weil der Wert größer war :P.
105% von 9/10 ist mehr als 15/16, aber ich verstehe nicht, wie ich die <5% zeigen kann? verwirrt

Lieben Dank smile

09.02.2015, 18:10

Mathema

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Zitat:

Muss ich zwei Grenzwerte betrachten?

Ja. Einmal von links und einmal von rechts annähern.

Zitat:

+unendlich reicht als Lösung nicht?

s.o.

Zitat:

Hier die neuen Extrema

Zitat:

Die maximale Steigung kann ja durch die Wendestellen bestimmt werden, aber... da hier keine Wendestellen existieren, habe ich um ehrlich zu sein einfach f'_3(-3)=(-16/5) und f'_3(-5)=(15/16) berechnet und beschlossen, dass letzteres die maximale Steigung ist, weil der Wert größer war.

Das ist ja der Nachweis. Gibt es kein Extremum im Intervall, liegt es am Rand.

Zitat:

aber ich verstehe nicht, wie ich die <5% zeigen kann?

$\begin{eqnarray*} \frac{\frac{15}{16}-\frac{9}{10}}{\frac{9}{10}}\cdot 100 = ... \end{eqnarray*}$

Wink

09.02.2015, 18:50

Cravour

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Ah jetzt erinnere ich mich auch wieder: Dann ist der Grenzwert von links angenähert -unendlich und von rechts angenähert +unendlich, oder?

Und zur letzten Aufgabe: 4,1667%<5%.

09.02.2015, 18:55

Mathema

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Bild für a = 3.

Sieht also gut aus. Freude

09.02.2015, 19:03

Cravour

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Super, vielen Dank für die Hilfe smile

.

Und auch nochmal einen lieben Dank an opi,

Wink

09.02.2015, 19:07

Mathema

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Gern geschehen, nach Opis Vorarbeit, war ja nicht mehr viel Hilfe nach. Ich hoffe du hast auch beherzigt, was Opi dir noch Nahe gelegt hat.

Zitat:

L'Hospital ist nicht anwendbar, die Voraussetzungen darfst Du bitte nachschlagen.

Dir noch einen Schönen Abend!

smile

09.02.2015, 19:19

Cravour

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Ja, natürlich; hab gleich im Ordner vom 1. Semester nachgeschlagen: Die Regel von l'Hospital verwendet man nur beim Grenzwert des Funktionstypes $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} \frac{f(x)}{g(x)} \end{eqnarray*}$ .

Danke nochmal und ebenso einen schönen Abend,
Wink

09.02.2015, 19:49

Mathema

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Und was spricht nun gegen diese Funktion?

09.02.2015, 20:28

Cravour

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Naja, das Problem bei dieser Funktion ist, dass sie nicht differenzierbar ist, weil der links- und rechtsseitige Differentialquotient unterschiedlich ist.

09.02.2015, 22:25

Mathema

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Das verstehe ich gerade nicht. Wo sind denn die Funktionen f(x) und g(x) hier nicht differenzierbar?

Das Problem ist doch wohl eher, dass Voraussetzung ist, dass $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to x_o} g(x) \end{eqnarray*}$ entweder beide null, oder bei unendlich sind, wir also Ausdrücke der Form $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$ , oder $\begin{eqnarray*} \frac{\infty}{\infty} \end{eqnarray*}$ erhalten. Und das ist hier wohl nicht der Fall.

10.02.2015, 00:18

Cravour

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Hm, da hab ich mich wohl vertan... wahrscheinlich falsch in den Rechner eingetippt. Aber nu kann ich es nachvollziehen :P. Danke^^

10.02.2015, 00:26

opi

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Von Hand zu rechnen ist gelegentlich einfacher als zu tippen. Augenzwinkern

Mathema und ich sagen: Gern geschehen!

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