LGS mit 6 Unbekannten

09.02.2015, 11:46

Rivago

LGS mit 6 Unbekannten

Lösen Sie das folgende LGS:

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 0 + 2x_5 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 6x_2 - 5x_3 - 2x_4 + 4x_5 - 3x_6 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 5x_3 + 10x_4 + 0 + 15x_6 = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1 + 6x_2 + 0 + 8x_4 + 4x_5 + 18x_6 = 6 \end{eqnarray*}$

Mein nächster Schritt war, die erste Zeile mal (-2) + Zeile 2 und Zeile 1 mal (-2) + Zeile 4

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 0 + 2x_5 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 - x_3 - 2x_4 + 0 - 3x_6 = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 5x_3 + 10x_4 + 0 + 15x_6 = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0_2 + 4x_3 + 8x_4 + 0 + 18x_6 = 6 \end{eqnarray*}$

Dann Zeile 2 mal (-1) ...

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 0 + 2x_5 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + x_3 + 2x_4 + 0 + 3x_6 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 5x_3 + 10x_4 + 0 + 15x_6 = 5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 4x_3 + 8x_4 + 0 + 18x_6 = 6 \end{eqnarray*}$

...und diese neue Zeile mal (-5) + Zeile 3

$\begin{eqnarray*} x_1 + 3x_2 - 2x_3 + 0 + 2x_5 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + x_3 + 2x_4 + 0 + 3x_6 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 6x_6 = 2 \end{eqnarray*}$

Aus Zeile 4 der letzten Matrix folgt: $\begin{eqnarray*} x_6 = \frac{1}{3} \end{eqnarray*}$

So.. jetzt weiß ich gerade nicht weiter. Ich hab ja eine Nullzeile, also muss ich einen Parameter einführen?

09.02.2015, 12:11

klarsoweit

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RE: LGS mit 6 Unbekannten
Erstmal mußt du die allgemeine Lösung des homogenen Systems bestimmen. Dazu mußt du schauen, welche freien Pramater du brauchst. Die Anzahl der Parameter richtet sich nach dem Rang der Matrix. Dieser ist "Anzahl der Variablen" minus Anzahl der Nicht-Nullzeilen. In diesem Fall also 6 - 3 = 3.

09.02.2015, 12:23

Rivago

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Aah

Also ich brauch 3 Parameter. $\begin{eqnarray*} x_6 \end{eqnarray*}$ hab ich gelöst, $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ brauch ich noch. Also kann ich mir 3 davon aussuchen, denen ich einen Parameter zuordne?

Edit: Ich muss jetzt weg. Melde mich gegen 16 Uhr wieder. Wink

09.02.2015, 13:08

klarsoweit

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Zitat:

Original von Rivago
Also kann ich mir 3 davon aussuchen, denen ich einen Parameter zuordne?

Nun ja, so einfach ist es auch wieder nicht. Erstmal mußt du "nicht freien" Variablen bestimmen (das ist nämlich leichter). Dazu gehst du von links nach rechts durch jede Gleichung und machst einen Kreis um die jeweils erste Variable, vor der nicht ein Faktor Null steht. Das sind die "nicht freien" Variablen. Alle anderen Variablen sind die "freien" Variablen. Für die kannst du jetzt Parameter setzen. Ich bin allerdings kein Freund dieser Parameter-Methode. Denn die produziert noch zusätzliche Rechenarbeit. Einfacher geht es so:

Setze sukzessiv eine der "freien" Variablen gleich 1, die anderen "freien" Variablen gleich Null. Dann bestimmst du die Werte der "nicht freien" Variablen. Das ergibt insgesamt 3 Lösungsvektoren, die linear unabhängig sind und eine Basis des Lösungsraums des homogenen Systems bilden.

09.02.2015, 15:39

Rivago

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Also wären $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_3 \end{eqnarray*}$ keine freien Variablen, richtig? Somit bleiben $\begin{eqnarray*} x_2, x_4 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ übrig, denen ich einen beliebigen Parameter zuordnen kann?

09.02.2015, 15:43

klarsoweit

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Ja.

09.02.2015, 15:48

Rivago

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Okay

Dann hab ich als Lösung $\begin{eqnarray*} x_3 = -2\lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 = -3t - 4\lambda - 2k \end{eqnarray*}$

Ich hab als Parameter $\begin{eqnarray*} x_2 = t, x_4 = \lambda, x_5 = k \end{eqnarray*}$

Danke für den Tipp, wie es einfach geht, aber ich bleibe lieber erstmal bei der Variante, wie wir es beigebracht kriegen, sonst komm ich noch mehr durcheinander als ich erst schon bin Augenzwinkern

09.02.2015, 15:59

klarsoweit

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OK, das sieht gut aus. smile

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