LGS mit Parameter

09.02.2015, 16:46

Rivago

LGS mit Parameter

Bestimmen Sie die Lösungsmengen des folgenden LGS in Abhängigkeit vom Paramter $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + \lambda x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Ich habe Zeile 1 und 2 vertauscht, damit es einfacher zu rechnen ist. Darf man das überhaupt?

$\begin{eqnarray*} x_1 + \lambda x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lambda x_1 + x_2 + x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1 + x_2 + \lambda x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

Nun Zeile 1 mal $\begin{eqnarray*} (-\lambda) \end{eqnarray*}$ + Zeile 2 und Zeile 1 mal (-1) + 3

$\begin{eqnarray*} 1 + \lambda + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 1 - \lambda ^2 + 1 - \lambda = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 1 - \lambda - 1 + \lambda = 0 \end{eqnarray*}$

Und nun Zeile 5 + 6

$\begin{eqnarray*} 1 + \lambda + 1 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + 1 - \lambda ^2 + 1 - \lambda = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 + (- \lambda ^2 - \lambda + 2) + 0 = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

Wie aber geht es jetzt weiter? verwirrt

09.02.2015, 18:07

Dopap

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wo sind denn deine Variablen geblieben ?

Die Lösungsmenge eines LGS hängt sicher nicht von der Reihenfolge des Aufschreibens ab !

09.02.2015, 18:09

echnaton

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Musst du die Aufgabe mit dem Gauß-Algorithmus lösen? Ich würde die Aufgabe anders angehen.

Durch Ermittlung der Determinanten erhälst du diejenigen $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ , für die das LGS genau eine Lösung besitzt. Diese Lösung kann mit der Cramerschen Regel angeben werden. Für die restlichen Fälle kannst du ein explizites LGS ohne $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ berechnen.

09.02.2015, 18:14

Rivago

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Zitat:

Original von Dopap
wo sind denn deine Variablen geblieben ?

Ich hab sie mal weggelassen, damit ich nicht so durcheinander komm, kann sie aber auch wieder hinschreiben:

$\begin{eqnarray*} 1x_1 + \lambda x_2 + 1x_3 = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0x_1 + (1 - \lambda ^2 + 1)x_2 - \lambda x_3 = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0x_1 + (- \lambda ^2 - \lambda + 2)x_2 + 0x_3 = 1 - \lambda \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von Dopap
Die Lösungsmenge eines LGS hängt sicher nicht von der Reihenfolge des Aufschreibens ab !

Also kann man die Zeilen so vertauschen, wie man lustig ist, ohne die Lösung zu beeinflussen?

@echnaton

Ich muss das nicht so machen, aber ich (bzw. wir) können es noch nicht anders. Wenn ich in mein Skript guck, seh ich, dass da noch was mit Cramerscher Regel kommt.. aber wie gesagt, das kann ich noch nicht Augenzwinkern

10.02.2015, 14:33

echnaton

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RE: LGS mit Parameter
Ich empfehle dir dringend, beim Gauß-Verfahren die Matrixschreibweise zu benutzen.

$\begin{eqnarray*} <br /> \begin{pmatrix} \lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & \lambda & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 & 1 \\ \lambda & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \end{pmatrix} \to\begin{pmatrix} 1 & \lambda & 1 & 1 \\ 0 & 1-\lambda^2 & 1-\lambda & 1-\lambda \\ 0 & 1-\lambda & \lambda-1 & 0 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$

Mögliche weitere Schritte: $\begin{eqnarray*} \text{II + III}, \ (1-\lambda)^{-1} \cdot \text{III}, \dots \end{eqnarray*}$

Wenn du beim Gauß-Verfahren eine Zeile mit $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ multiplizierst, musst du aufpassen, dass $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ungleich Null oder überhaupt definiert ist. Das bedeutet hier $\begin{eqnarray*} \lambda \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Den Fall musst du später gesondert betrachten.

Zur Kontrolle: Das Endresultat ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & c \\ 0 & 1 & 0 &c \\ 0 & 0 & 1 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} c=\frac{1}{\lambda+2} \end{eqnarray*}$ , sowie $\begin{eqnarray*} \lambda \in \mathbb R \setminus \{1,-2\} \end{eqnarray*}$

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