Stetige Funktionen in der linearen Algebra

10.02.2015, 12:12	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktionen in der linearen Algebra Hallo liebes Forum, momentan lerne ich einiges über Vektorräume und Unterräume etc. Ich möchte die Frage mal allgemein halten: Ich habe Aufgaben gesehen in denen man beweisen sollte, dass alle stetigen Funktionen ein Unterraum eines Vektorraums bilden. Ich weiß, dass ich diese Information irgendwie nutzen muss um die Abgeschlossenheit in der Addition und Multiplikation zu beweisen. Aber wie nutze ich diese Information in meiner Beweisführung? Ich kann nur erklären was Stetigkeit ist. Bei anderen Aufgaben hatte man immer so einfache Unterräume wie alle Vektoren von R^3 mit b = 0 oder so. Wie sieht das denn hier aus? MfG goldfisch91
10.02.2015, 12:45	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} Abb(M,K)=K^M \end{eqnarray}$ , der Raum aller Funktionen von einer Menge $\begin{eqnarray} M \end{eqnarray}$ in einen Körper $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ ist ein $\begin{eqnarray} K \end{eqnarray}$ -Vektorraum. Speziell ist $\begin{eqnarray} Abb(\mathbb R,\mathbb R)=\mathbb R^{\mathbb R} \end{eqnarray}$ , der Raum aller reellen Funktionen ein reeller Vektorraum. Jetzt brauchst du nur noch das UVR-Kriterium, also die Abgeschlossenheit gegen Addition und skalarer Multiplikation, um die stetigen Funktionen als UVR zu erkennen. Du musst nur beweisen: $\begin{eqnarray} f,g:\mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ stetig , $\begin{eqnarray} a \end{eqnarray}$ reell $\begin{eqnarray} \Rightarrow f+g, af \end{eqnarray}$ stetig. Dasselbe gilt dann offenbar auch für $\begin{eqnarray} f,g:M\to\mathbb R \end{eqnarray}$ für jede Teilmenge $\begin{eqnarray} M\subset \mathbb R \end{eqnarray}$ . Genauso kann man auch $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} \mathbb C \end{eqnarray}$ oder einen anderen geeigneten Körper ersetzen.
10.02.2015, 12:54	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das habe ich auch soweit verstanden. Aber genau der nächste Schritt macht mir Probleme. Ich weiß, dass die Funktionen stetig sind, und wie beweise ich jetzt, dass die Summe der Funktionen zum Beispiel auch stetig ist? Ich sehe nicht wie ich das Beweisen soll.
10.02.2015, 12:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das beweist man so wie immer : $\begin{eqnarray} \forall x_0\in M\forall \epsilon>0\exists\delta(x_0)>0 \;... \end{eqnarray}$ Der Beweis wird in Analysis I geführt.
10.02.2015, 13:08	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid aber ich muss zugeben dass mir die Erklärung (vorallem die Ungleichung) zu kompliziert ist. Kannst du das einmal für Dumme erklären?
10.02.2015, 13:11	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, leider nicht. Wenn du nicht weißt, was eine stetige Funktion ist, kannst du nicht beweisen, dass die Summe zweier stetiger Funktionen stetig ist. $\begin{eqnarray} f:M\subset \mathbb R\to\mathbb R \end{eqnarray}$ heißt stetig genau dann wenn $\begin{eqnarray} \forall x_0\in M\forall \epsilon>0\exists\delta(x_0)>0 \; : \; \|x-x_0\|<\delta(x_0)\Rightarrow\|f(x)-f(x_0)\|<\epsilon \end{eqnarray}$
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