Schwingungsüberlagerung - Auslöschung

10.02.2015, 17:42	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Schwingungsüberlagerung - Auslöschung Wir betrachten die 3 Schwingungen $\begin{eqnarray} y_1(t) = a \cdot sin(\omega t + \phi), y_2(t) = a \cdot sin(\omega t + \phi + \frac{2}{3}\pi), y_3(t) = a \cdot sin(\omega t + \phi + \frac{4}{3}\pi) \end{eqnarray}$ , wobei a > 0, $\begin{eqnarray} \omega > 0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \phi \in [0;2\pi) \end{eqnarray}$ gelte. Zeigen Sie mit Hilfe der komplexen Form der Schwingungen, dass sich diese bei Überlagerung zu allen Zeiten neutralisieren, d.h. dass $\begin{eqnarray} y_1(t) + y_2(t) + y_3(t) = 0 \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} t \in \mathbb{R} \end{eqnarray}$ gilt. Zuerst mal: Was bedeutet $\begin{eqnarray} \phi \in [0;2\pi) \end{eqnarray}$ ? Also wenn die Klammer so "komisch" da steht. Meine Lösungsschritte: $\begin{eqnarray} y_1(t) = a \cdot e^{i(\omega t + \phi)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_2(t) = a \cdot e^{i(\omega t + \phi + \frac{2}{3}\pi)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y_3(t) = a \cdot e^{i(\omega t + \phi \frac{4}{3}\pi)} \end{eqnarray}$ 0 = y1 + y2 + y3 $\begin{eqnarray} 0 = a \cdot e^{i(\omega t + \phi)} + a \cdot e^{i(\omega t + \phi + \frac{2}{3}\pi)} + a \cdot e^{i(\omega t + \phi \frac{4}{3}\pi)} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = a \cdot e^{i\omega t} \cdot e^{i\phi} + a \cdot e^{i\omega t} \cdot e^{i\phi + \frac{2}{3}\pi} + a \cdot e^{i\omega t} \cdot e^{i\phi + \frac{4}{3}\pi} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = e^{i\omega t} \cdot (a \cdot e^{i\phi} + a \cdot e^{i\phi + \frac{2}{3}\pi} + a \cdot e^{i\phi + \frac{4}{3}\pi}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0 = a \cdot (cos \phi + i \cdot sin \phi) + a \cdot (cos \phi + \frac{2}{3}\pi + i \cdot sin \frac{2}{3}\pi) + a \cdot (cos \phi + \frac{4}{3}\pi + i \cdot sin \frac{4}{3}\pi) \end{eqnarray}$ Aber jetzt weiß ich nicht weiter Was muss ich noch machen? Ist das überhaupt so richtig?
10.02.2015, 17:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
1. $\begin{eqnarray} [0,2\pi) \end{eqnarray}$ ist ein "halboffenes" Intervall, die 0 gehört dazu, $\begin{eqnarray} 2\pi \end{eqnarray}$ nicht . 2. Es ist identisch für alle reellen x : $\begin{eqnarray} e^{ix}+e^{i(x+ \frac 2 3 \pi)}+e^{i(x+\frac 4 3 \pi)}=0 \end{eqnarray}$ . Tipp: Wenn du das nicht weißt, addiere z.B. für $\begin{eqnarray} x=\frac {\pi} 2 \end{eqnarray}$ . Aus Symmetriegründen gilt das dann für alle x, denn im Komplexen sind das 3 Punkte auf dem Einheitskreis, die ein gleichseitiges Dreieck bilden.
10.02.2015, 19:04	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, ich konnte die Aufgabe lösen

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