Reflexivität von Unterräumen |
| 13.02.2015, 13:11 | imjustaguest | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Reflexivität von Unterräumen Sei X ein reflexiver normierter Raum und Y ein abgeschlossener Unterraum von X. Zeigen Sie, dass Y reflexiv ist. Meine Ideen: Hey, also man muss ja zeigen (so ist Reflexivität definiert), dass die kanonische Einbettung J|Y: Y->Y'', y->Jy mit Jy(l)=l(y) in den Bidualraum surjektiv ist. Dass diese Einbettung als Einschränkung von J: X->X'' linear und isometrisch (also injektiv) ist, ist denke ich klar, da sich solche Eigenschaften auf Einschränkungen übertragen. Meine Idee: Wir betrachten eine Basis V von Y und eine Basis W von X, welche die Basis V von Y enthält. Da J ein Isomorphismus ist, ist doch V'' eine Basis von X'' wobei V'' die Menge sei, die durch Anwenden von J auf die Elemente von V entstehe. Nun betrachten wir W'', also die Menge, die durch Anwenden von J auf die Elemente von W entsteht. Wir müssen zeigen, dass W'' eine Basis von Y'' bildet. Aber gut, jedes Element von W'' wird doch auf ein Element in Y'' abgebildet. Und diese Elemente in Y'' sind linear unabhängig, da ja V'' eine Basis ist. Bin ich damit fertig, bzw. kann man überhaupt so argumentieren, mit den Basen? 
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