Grenzwert berechnen

14.02.2015, 15:27

BAAAAAAAAM

Grenzwert berechnen

Meine Frage:
Moin, ich komme beim Grenzwert berechnen in Analysis I nicht weiter.

Die Aufgabe lautet:
lim n->unendlich (14n^3-5n^2+2n-1)/(7*(n+1)^4+2n^3+8n^2)

Meine Ideen:
Ich habe die 7*(n+1)^4 jetzt ausgeklammert und bin bei:
lim n->unendlich (14n^3-5n^2+2n-1)/(7n^4+30n^3+50n^2+28n+7)

Ist meine Lösung jetzt -1/7 oder wie sieht es aus?

Gruß

14.02.2015, 19:00

mYthos

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Nein, deine Lösung stimmt so nicht.
Es ist ziemlich einfach, bei einem gebrochen rationalen Polynom sucht man nach der höchsten Potenz im Zähler und im Nenner. Nur bei Gleichheit ist der Grenzwert gleich dem Quotienten deren Koeffizienten. Andernfalls ist das Resultat Null oder unendlich .. (wann, das mögest du selbst herausfinden)
-------------
Alternativ kannst du aus Zähler und Nenner hier $\begin{eqnarray*} n^3 \end{eqnarray*}$ ausklammern und den Bruch durch dieses kürzen. Danach mittels den Grenzwertsätzen zu Ende rechnen.

mY+

14.02.2015, 20:37

BAAAAAAAAM

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Danke dir, habe jetzt 0 als Grenzwert raus, der richtig sein sollte!

14.02.2015, 20:47

BAAAAAAAAM

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Ich hätte noch eine Frage zu dem Grenzwert von (1-1/n^3)^n.

(1-1/n)^n ist ja =1/e, ist dann der Grenzwert von dem oben angegebenen Term =1/e^3 oder welche allgemeine Formel wird für den Fall angewendet?

15.02.2015, 12:53

mYthos

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Nein, hier kommt e nicht ins Spiel.
Entwickle die Potenz nach dem binomischen Lehrsatz, dann ist schnell zu sehen, dass der Grenzwert hier 1 ist!

mY+

15.02.2015, 14:10

BAAAAAAAAM

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Ja, stimmt, hab es jetzt auch erkannt smile

Danke dir

15.02.2015, 14:21

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Alternativ kann man sich auf die Bernoullische Ungleichung berufen und bekommt $\begin{eqnarray*} (1-\frac{1}{n^3})^n\geq 1-\frac{n}{n^3} \end{eqnarray*}$

16.02.2015, 00:56

BAAAAAAAAM

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Könnt ihr mir evtl. noch das Vorgehen für die Bestimmung der Grenzwerte dieser Terme zeigen? Oder einen Tipp geben, wie ich vorzugehen habe?

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+{2}/{n^2})^n \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (sin*1/n)^{-1} \end{eqnarray*}$

EDIT: Latex verbessert (klarsoweit)

16.02.2015, 22:19

BAAAAAAAAM

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Sind die Lösungen etwa:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1+{2}/{n^2})^n=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (sin*1/n)^{-1}=\frac {1}{pi} \end{eqnarray*}$

???

16.02.2015, 22:37

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Der erste ist richtig.
Aber was soll das

Zitat:

Original von BAAAAAAAAM
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (sin\textcolor{red}{*1/n})^{-1} \end{eqnarray*}$

überhaupt bedeuten?

16.02.2015, 22:47

BAAAAAAAAM

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Danke dir

Und bedeuten soll es folgendes:
$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (sin\frac {1}{n})^{-1}=\frac {1}{pi} \end{eqnarray*}$
So steht es zumindest in der Aufgabenstellung. Das * ein kleiner Schreibfehler von mir Big Laugh

16.02.2015, 23:03

mYthos

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$\begin{eqnarray*} \frac 1 {\pi} \end{eqnarray*}$ ist für diesen Grenzwert garantiert falsch!

mY+

17.02.2015, 00:39

BAAAAAAAAM

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Ist der Grenzwert evtl 0, da sin(0)=0 ???

17.02.2015, 00:50

mYthos

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Die Sinusfunktion geht zwar gegen Null, allerdings ist sie doch von der Potenz ^(-1) eingeklammert, wie du siehst, oder?

mY+

17.02.2015, 01:53

BAAAAAAAAM

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Also ist das Ganze nicht definiert, da 1/0 nicht zulässig?

17.02.2015, 12:08

mYthos

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Der Term ist zwar bei x = 0 wegen der negativen Hochzahl nicht definiert, könnte aber theoretisch dennoch einen Grenzwert haben (welcher nicht der Funktionswert sein muss).
Also ist es eine Grenzwertfrage und nicht eine Definitionsfrage.
So, und nun ist der Grenzwert von "1/0" zu untersuchen (?) ...

mY+

17.02.2015, 16:09

BAAAAAAAAM

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Da habe ich keine Ahnung, wie ich vorgehen muss. Aber ich glaube auch nicht, dass in der Aufgabenstellung soweit danach gefragt war.
Sie lautet folgendermaßen: Bestimmen Sie, falls existent, die Grenzwerte

Aber es ist natürlich sinnvoll zu wissen, wie es geht, muss ich dann nun das Epsilon-Kriterium anwenden?

19.02.2015, 00:42

mYthos

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Nein, das muss nicht sein Big Laugh

Wenn in einem Bruch der Nenner gegen Null geht und der Zähler konstant bleibt, dann liegt eben die Form "1/0" vor und dabei geht der Grenzwert gegen Unendlich ( infinity, $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ).
Somit ist

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (sin\frac {1}{n})^{-1}=\frac 1 {\sin (0)} = \infty \end{eqnarray*}$

und es existiert kein (endlicher) Grenzwert, er geht sozusagen "über alle Grenzen"

mY+

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