Eulers Theorem - Produktionsfunktion

14.02.2015, 17:48

SpätzünderHeinrich

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Eulers Theorem - Produktionsfunktion

Meine Frage:
Hallo liebe Gemeinde, ich habe eine Frage zur Herleitung von Eulers Theorem.
Sei f(x) stetig diff'bar und homogen von Grad k, so gilt für alle x
$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(x)}{dx_i}=k f(x) \end{eqnarray*}$ .

Wegen Homogenität gilt
$\begin{eqnarray*} f(\lambda x) = \lambda^k f(x) \end{eqnarray*}$ .
Nun steht in meinem Script, dass beide Seiten nach Lambda abzuleiten sind und sich daraus folgender Ausdruck ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{dx_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$ .

Ich verstehe nicht, wieso bei der Ableitung nach Lambda plötzlich alle partiellen Ableitungen nach den einzelnen Elementen von x ergeben? Und vor allem dass die einzelnen X-Elemente auch noch vor dem Bruch auftauchen. Welche Logik steckt dahinter?
Dankeschön!
Heinrich

Meine Ideen:
Vielleicht die Anwendung einer Kettenregel, aber ich verstehe nicht wie das genau funktionieren könnte? Schließlich wird nur nach Lambda abgeleitet

14.02.2015, 19:12

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Kettenregel mit der inneren Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}^n, g(\lambda)=\lambda x \end{eqnarray*}$ (x wird festgehalten).

15.02.2015, 12:22

janr87

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Aber müsste dann die äußere Funktion nicht partiell nach $\begin{eqnarray*} \lambda x_i \end{eqnarray*}$ abgeleitet werden, denn $\begin{eqnarray*} \lambda x_i \end{eqnarray*}$ ist doch das Argument der äußeren Funktion? Stattdessen stehen im Nenner nur die partiellen Ableitungen nach den $\begin{eqnarray*} x_i \end{eqnarray*}$ .

15.02.2015, 12:28

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Ich verstehe nicht, was du meinst.
Die äußere Funktion wird einfach abgeleitet und anschließend die innere Funktion in diese Ableitung eingesetzt.

15.02.2015, 12:35

janr87

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Hmm, könntest du den Rechenweg ausführlich aufschreiben?

15.02.2015, 12:41

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Schreib du doch mal die Ableitung von f und die Kettenregel hin Augenzwinkern

Augenzwinkern

Edit: Im Übrigen sollten wir auf den Threadersteller warten.

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15.02.2015, 13:02

SpätiHeinrich

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Guten morgen,
vielen Dank für die Kommentare!
Also wir tun so als wäre f(x) eine normale Funktion und leiten partiell nach den xi ab (Äußere Ableitung unter Beibehaltung der inneren Ableitung) und multiplizieren das dann mit der inneren Ableitung?

$\begin{eqnarray*} <br /> \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_i} \frac{\partial g(\lambda)}{\partial \lambda}<br /> \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 13:09

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Die Ableitung einer Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^m \end{eqnarray*}$ ist nicht $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ sondern eine Matrix.
Edit: Besser wäre hier $\begin{eqnarray*} \frac{d g(\lambda)}{d \lambda} \end{eqnarray*}$ , weil g nur von einer reellen Veränderlichen abhängt.

15.02.2015, 13:16

SpätiHeinrich

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Aber meine Funktion ist doch $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R ^n \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ und in der obenstehenden Lösung ist die Ableitung von $\begin{eqnarray*} f(\lambda x) \end{eqnarray*}$ nach Lambda doch auch ein Skala?!
Danke für deine Antworten, URL!

15.02.2015, 13:19

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Vergiss mal das Lambda und die innere Funktion.
Wie sieht die Ableitung von f aus? Und ich meine nicht die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f(\lambda x)}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 13:28

SpätiHeinrich

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Also das totale Differential?
$\begin{eqnarray*} \textbf{d}f = \sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i} \textbf{d}x_i \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 13:33

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Nein.
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(x), \frac{\partial f}{\partial x_2}(x),\ldots , \frac{\partial f}{\partial x_2}(x)\right) \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 13:38

SpätiHeinrich

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Also insgesamt n*n Ergebnisse, wo alle Partiellen Ableitungen mit allen x-Werten multipliziert werden. Ich muss zugeben dass ich davon noch nie gehört habe.

15.02.2015, 13:46

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Zitat:

Original von SpätiHeinrich
Also insgesamt n*n Ergebnisse, wo alle Partiellen Ableitungen mit allen x-Werten multipliziert werden. Ich muss zugeben dass ich davon noch nie gehört habe.

Wovon sprichst du gerade? verwirrt

verwirrt

Die Ableitung von f ist in diesem Fall ein Zeilenvektor, oder wenn du so willst eine $\begin{eqnarray*} n\times 1 \end{eqnarray*}$ Matrix, und multipliziert wird da überhaupt nichts. An der i-ten Stelle dieses Zeilenvektors wird die partielle Ableitung $\begin{eqnarray*} \frac{\partial f}{\partial x_i} \end{eqnarray*}$ im Punkt x ausgewertet.

Wenn du noch nichts von der Ableitung von f gehört hast, wie sieht bei dir die Kettenregel aus?

15.02.2015, 14:25

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion

Zitat:

Original von SpätzünderHeinrich
Nun steht in meinem Script, dass beide Seiten nach Lambda abzuleiten sind und sich daraus folgender Ausdruck ergibt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{dx_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$ .

Meiner Meinung nach ist dieser Ausdruck nicht ganz korrekt. Es sei $\begin{eqnarray*} y=\lambda x \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} y_i=\lambda x_i \end{eqnarray*}$ . Dann ist nach der mehrdimensionalen Kettenregel

$\begin{eqnarray*} \frac {d f(\lambda x)}{d \lambda}=\frac {d f(y)}{d \lambda}=\sum_{i=1}^n \frac {df(y)}{dy_i} \frac {dy_i}{d \lambda}=\sum_{i=1}^n \frac {df(y)}{dy_i}x_i \end{eqnarray*}$

Man bekommt also

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(y)}{dy_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$

Wenn man jetzt $\begin{eqnarray*} \lambda =1 \end{eqnarray*}$ betrachtet, also $\begin{eqnarray*} y=x \end{eqnarray*}$ , bekommt man die Eulersche Beziehung:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(x)}{dx_i}=kf(x) \end{eqnarray*}$

15.02.2015, 14:31

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
@Huggy: Und was genau soll da nicht korrekt sein? verwirrt

verwirrt

15.02.2015, 14:36

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Statt

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{dx_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$

müsste da

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{d(\lambda x_i)}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$

stehen.

15.02.2015, 14:57

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Warum? Die Kettenregel sagt doch $\begin{eqnarray*} (f\circ g)'=(f'\circ g )g' \end{eqnarray*}$ wobei rechts das Produkt von zwei Matrizen steht.
Man bildet die Ableitung von f und setzt dann g ein.

15.02.2015, 18:37

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Die Rechnung unter expliziter Mitführung der Hilfsvariablen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ macht das doch völlig transparent.

15.02.2015, 21:10

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Ich finde das Einführen einer Hilfsvariablen an der Stelle und einen Ausdruck wie $\begin{eqnarray*} \frac{df}{d(\lambda x_i)} \end{eqnarray*}$ eher intransparent. Aber das ist wohl Geschmacksfrage Wink

Wink

16.02.2015, 08:17

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Klar ist das eine Geschmacksfrage. Aber das ändert nichts daran, das diese Formel

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{dx_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$

falsch ist.

16.02.2015, 11:21

mYthos

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Zitat:

Original von URL
...
Edit: Im Übrigen sollten wir auf den Threadersteller warten.

Nein, denn er IST der Threadersteller!

@Späti.., du hast insgesamt 3 Accounts! Du sollst aber nur EINEN Namen verwenden, welchen willst du beibehalten? Die anderen beiden werden von der Administration deaktiviert.

mY+

16.02.2015, 20:21

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Die Formel $\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^n x_i \frac{df(\lambda x)}{dx_i}=k \lambda^{k-1}f(x) \end{eqnarray*}$ ist völlig korrekt.

17.02.2015, 08:40

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Dann mache ich mal ein Beispiel. Sei

$\begin{eqnarray*} x=(x_1, x_2) \text { und } f(x)=x_1^2x_2^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=(\lambda x_1)^2(\lambda x_2)^3=\lambda^5x_1^2x_2^3 \end{eqnarray*}$

Es ist also $\begin{eqnarray*} k=5 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} k-1=4 \end{eqnarray*}$ . Man bekommt:

$\begin{eqnarray*} \frac {df(\lambda x)}{dx_1}= \frac {d}{dx_1}\lambda^5x_1^2x_2^3=2\lambda^5x_1x_2^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac {df(\lambda x)}{dx_2}= \frac {d}{dx_2}\lambda^5x_1^2x_2^3=3\lambda^5x_1^2x_2^2 \end{eqnarray*}$

Also

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^2x_i\frac {df(\lambda x)}{dx_i}=2\lambda^5x_1^2x_2^3+3\lambda^5x_1^2x_2^3=5\lambda^5x_1^2x_2^3 \neq 5\lambda^4x_1^2x_2^3 \end{eqnarray*}$

Da ist ein Faktor $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ zu viel.

17.02.2015, 18:43

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Ah, wir interpretieren den Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \frac {df(\lambda x)}{dx_1} \end{eqnarray*}$
unterschiedlich. Für mich ist es der nach Kettenregel zu bildende Ausdruck
$\begin{eqnarray*} \left(\frac{\partial f_1}{\partial x_1}\circ g\right)(x)=2x_1x_2^3\mid_{g(x)}=(2\lambda x_1) (\lambda x_2)^3=2\lambda ^4 x_1x_2^3 \end{eqnarray*}$
was du berechnest ist für mich
$\begin{eqnarray*} \frac {d(f(\lambda x))}{dx_1} \end{eqnarray*}$

18.02.2015, 09:44

Huggy

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Jetzt bin ich erst mal froh, dass sich der Unterschied in unserer Auffassung geklärt hat. Ich muss gestehen, dass mir deine Interpretation der Notation nicht geläufig ist. Wenn man die Ableitung formal in Form eines Bruches mit Differentialen schreibt, kenne ich es nur so, dass man in den Nenner nach dem Differential-d die Variable/Funktion schreibt, nach der man ableiten möchte. Dass man bei verketteten Funktionen in den Nenner immer die innerste Variable schreibt und die Variable/Funktion, nach der man tatsächlich ableiten möchte, durch unterschiedliche Klammerung im Zähler kenntlich macht, ist mir nicht geläufig.

Nun ist mein Studium lange her und Konventionen ändern sich im Laufe der Zeit. Aber ich muss gestehen, wenn deine Interptetation der Notation aktuell geläufig sein sollte, so wird das bei mehrfachen Verkettungen mit den Klammern im Zähler schnell unübersichtlich.

21.02.2015, 20:02

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RE: Eulers Theorem - Produktionsfunktion
Darüber bin ich jetzt auch froh smile

smile

Du meinst die Notation $\begin{eqnarray*} \frac {d(f(\lambda x))}{dx_1} \end{eqnarray*}$ ? Die habe ich nur gewählt, um zu verdeutlichen, wie ich deine Auffasung verstehe und so betrachtet ergibt deine Herangehensweise natürlich auch Sinn - nur auf den ersten Blick ein anderes Ergebnis. Gut dass wir einen zweiten Blick geworfen haben Wink

Wink

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