Diophantische Gleichung mit Dreiecks- und Pyramidalzahlen

15.02.2015, 17:02	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Diophantische Gleichung mit Dreiecks- und Pyramidalzahlen Frage: Es sei $\begin{align} T(n) = \frac{n(n+1)}{2} \end{align}$ die $\begin{align} n \end{align}$ -te Dreieckszahl und $\begin{align} P(k) = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} \end{align}$ die $\begin{align} k \end{align}$ -te quadratische Pyramidalzahl. Welche positiven Lösungen $\begin{align} (n,k) \end{align}$ hat die diophantische Gleichung $\begin{align} 2T(n)=P(k) \end{align}$ , d.h. $\begin{align} 6n(n+1) = k(k+1)(2k+1) \end{align}$ ? Nicht meine Ideen, sondern die von mi-wo: $\begin{align} (5,4) \end{align}$ , $\begin{align} (22,11) \end{align}$ und $\begin{align} (25,12) \end{align}$ sind Lösungen - gibt es weitere? Falls nicht, wie könnte ein geeigneter Beweis dafür aussehen? P.S.: Es gibt keine Garantien, dass es hier nun mehr Interessenten gibt, aber zumindest entspricht es eher meinen Vorstellungen, wie man ein Problem auf den Punkt bringt, statt es in einem Meer von Formulierungen zu verstecken.
18.02.2015, 13:56	wdposchmann	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Diophantische Gleichung mit Dreiecks- und Pyramidalzahlen Hi, man kann in meinen Augen schon mal zeigen, dass es keine Lösungen für $\begin{eqnarray} n=k \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n<k \end{eqnarray}$ gibt: 1. Fall: $\begin{eqnarray} n=k \end{eqnarray}$ Dann müsste $\begin{eqnarray} 6 = 2k+1 \end{eqnarray}$ gelten, also $\begin{eqnarray} k=\frac{5}{2} \end{eqnarray}$ und somit ist $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ keine natürliche Zahl. 2. Fall: $\begin{eqnarray} n<k \end{eqnarray}$ Man kann die Gleichung dann schreiben als $\begin{eqnarray} 6 \cdot \underbrace{\frac{n(n+1)}{k(k+1)}}_{=: p \in (0,1)} = 2k+1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 6p = 2k+1 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \in (0,1) \end{eqnarray}$ . Für die ersten $\begin{eqnarray} k \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} k=1: p=\frac{3}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=2: p=\frac{5}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=3: p=\frac{7}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} k=4: p=\frac{9}{6} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \cdots \end{eqnarray}$ Es kommen also nur $\begin{eqnarray} k=1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} k=2 \end{eqnarray}$ in Frage. Für diese beiden zeigt man schnell, dass das zugehörige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ keine natürliche Zahl ist. Ich habe auch für $\begin{eqnarray} n>k \end{eqnarray}$ eine ähnliche Folgerung versucht, bin bis jetzt jedoch nicht auf eine Lösung gekommen. Wenn mir das noch gelingt, melde ich mich. Vielleicht helfen Dir ja die bisherigen Erkenntnisse. Viele Grüße

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