Lineare Abbildung

15.02.2015, 22:26

martinio

Lineare Abbildung

Hallo

Aufgabenstellung

Welche der folgenden Abbildungen sind linear? Welche sind injektiv? Welche sind surjektiv? Stellen Sie für diejenigen Abbildungen, die linear sind, die Abbildungsmatrix auf und bestimmen Sie den Kern der Abbildung.

$\begin{eqnarray*} f: \mathbb R^3 \longrightarrow \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 -x_2)^2 - (x_1 +x_2)^2 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist m.E.n. nicht linear , denn

$\begin{eqnarray*} f(\lambda x)=f\begin{pmatrix} \lambda x_1 \\ \lambda x_2 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (\lambda x_1 -\lambda x_2)^2- (\lambda x_1 +\lambda x_2)^2\\ 0 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \lambda^2 ( ( x_1 - x_2)^2- ( x_1 + x_2)^2)\\ 0 \\ \lambda x_3 \end{pmatrix}\neq \lambda f(x) \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Wenn ja, kann ich die Eigenschaften bzgl. Surjektivität/Injektivität auch zu nicht linearen Abbildungen angeben? Wenn ja, wie genau? Bin sonst immer über die Dimensionsformel/Rangsatz gegangen, der aber doch nur für lin. Abb. gilt.

Danke

15.02.2015, 22:30

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RE: Lineare Abbildung?
Wieso steht da mal h und mal f als Funktionsname? War das Absicht?
Die angegebene Funktion f ist nicht linear, das ist korrekt.
Injektivität und Surjektivität kann man für jede Abbildung betrachten. Man muss sich nur an die Definition der beiden Begriffe erinnern.

15.02.2015, 22:46

martinio

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RE: Lineare Abbildung?

Zitat:

Original von URL
Wieso steht da mal h und mal f als Funktionsname? War das Absicht?

Nein, mein Fehler. Ist korrigiert - sorry smile

Zitat:

Original von URL
Injektivität und Surjektivität kann man für jede Abbildung betrachten. Man muss sich nur an die Definition der beiden Begriffe erinnern.

Stimmt. Dann würde ich mich an den Urbildern orientieren. Die Abbildungsvorschift lässt sich durch Lösen der bin. Formeln noch weiter vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} f\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (x_1 -x_2)^2 - (x_1 +x_2)^2 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4x_1x_2 \\ 0 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Daher gilt $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( \begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \right)= \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$

Daher wird die Fkt. surjektiv sein, denn bei injektivität hat jedes Bild höchstens 1 ein Urbild. Bei Surjektivität mindestens eins (in etwa noch aus dem Kopf ).

15.02.2015, 22:58

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RE: Lineare Abbildung?
Die Begründung zur Injektivität ist richtig, wobei ich $\begin{eqnarray*} f^{-1}\left( \left\{\begin{pmatrix} -4 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\right\} \right)= \ldots \end{eqnarray*}$
schreiben würde, damit man erkennt, dass es um die Mengenabbildung und nicht um die Umkehrfunktiion von f geht (die Umkehrfunktion gibt es ja in dem Fall gar nicht)
Die Surjektivität solltest du nachschlagen, das stimmt so nicht.

15.02.2015, 23:21

martinio

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RE: Lineare Abbildung?
Das Prinzip der Surjektivtät ist doch, dass jeder Punkt in der Zielmenge mindestens einmal getroffen wird, d.h. dass jedes Bild min. ein Urbild hat.

15.02.2015, 23:28

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RE: Lineare Abbildung?
Nein! Dass jedes Bild mindestens ein Urbild hat ist eine Tautologie.
Entscheidend ist, dass jedes Element der Zielmenge auch ein Bild ist.

15.02.2015, 23:38

martinio

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RE: Lineare Abbildung?
Die Zielmenge ist doch in diesem Fall der ganze $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ . Die Bildmenge ist der Unterraum,der durch die Abbildung gespannt wird (sagt man das so?!).

D.h. zu zeigen bleibt, dass jedes Element der Zielmenge getroffen wird?

Bin gerade ein wenig verwirrt geschockt

(BWLer am Werk)

15.02.2015, 23:52

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RE: Lineare Abbildung?
Zielmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^3 \end{eqnarray*}$ , korrekt.
Vom (aufgespannten) Unterraum redet man nurr bei linearen Abbildungen, sonst ist es die Bildmenge.
Es ist zu untersuchen - zeigen wirst du es nicht können - ob jedes Element der Zielmenge getroffen wird.

Vielleicht klärt ein Beispiel die Verhältnisse: $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}, f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$ .
Zielmenge ist $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ , aber z.B. wird das Element $\begin{eqnarray*} -1\in\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ von f nicht getroffen.
Die Bildmenge ist $\begin{eqnarray*} \{y\in \mathbb{R}\mid y\geq 0\} \end{eqnarray*}$

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