Primelemente,teilerfremd

16.02.2015, 17:57

StrunzMagi

Primelemente,teilerfremd

Es ist ein Integritätsbereich R vorgegeben.Warum sind zwei Primelemente p,q $\begin{eqnarray*} \in R \end{eqnarray*}$ entweder teilerfremd oder assoziert??

Hallo
Wir haben Primelemente folgendermaßen definiert:
Sei R ein kommutativer Ring mit 1:
Ein $\begin{eqnarray*} p \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p\not=0,p \not\in R^x \end{eqnarray*}$ heißt prim, wenn $\begin{eqnarray*} p|ab \Rightarrow p|a \vee p|b \end{eqnarray*}$ gilt.
( $\begin{eqnarray*} R^x \end{eqnarray*}$ ist die Einheitengruppe)

In einen Integritätsbereich ist jedes Primelement auch irreduzibel, lässt sich also nur in triviale Teiler(=Einheiten) zerlegen. D.h. die Primelemente p,q besitzen nur triviale Teiler.

$\begin{eqnarray*} p,q \end{eqnarray*}$ sind teilerfremd wenn für ein $\begin{eqnarray*} d \in R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} d|p, d|q \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} d\in R^x \end{eqnarray*}$ .

Liebe Grüße

16.02.2015, 18:25

Elvis

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Annahme: p und q nicht teilerfremd, also d ein gemeinsamer Teiler von p und q.
Tipp 1: p und q sind irreduzibel, also assoziiert zu $\begin{eqnarray*} d\notin R^{\times} \end{eqnarray*}$ . Ist "assoziiert" eine Äquivalenzrelation ?
Tipp 2: Man kann es auch direkt hinschreiben als Folgerung aus der Annahme.

16.02.2015, 20:34

StrunzMagi

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Hallo

Angenommen p und q nicht teilerfremd. $\begin{eqnarray*} \exists \end{eqnarray*}$ gemeinsame Teiler $\begin{eqnarray*} d \in R \end{eqnarray*}$ von p und q, der keine Einheit ist.
$\begin{eqnarray*} d=up=\overline{u}q \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} u,\overline{u}\in R \end{eqnarray*}$

Warum folgt aus der Unzerlegbarkeit von p und q, dass sie assoziert sind zu d? Das sehe ich leider nicht.
Wenn $\begin{eqnarray*} p\sim d, d\sim q \end{eqnarray*}$ folgt $\begin{eqnarray*} p\sim q \end{eqnarray*}$ aus der Transitivität der Assoziertrelation. Der Schritt ist klar.(Wie macht man in Latex das Tildesymbol richtig?)

LG

17.02.2015, 02:02

RavenOnJ

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RE: Primelemente,teilerfremd

Zitat:

Original von StrunzMagi

In einen Integritätsbereich ist jedes Primelement auch irreduzibel, lässt sich also nur in triviale Teiler(=Einheiten) zerlegen.

Es müsste heißen: Wenn $\begin{align*} p \end{align*}$ Primelement und $\begin{align*} p=ab \end{align*}$ , dann ist entweder $\begin{align*} a \end{align*}$ oder $\begin{align*} b \end{align*}$ eine Einheit, aber nicht beide. $\begin{align*} p \end{align*}$ ist also zu $\begin{align*} a \end{align*}$ oder zu $\begin{align*} b \end{align*}$ assoziiert.

Wenn $\begin{align*} p \end{align*}$ und $\begin{align*} q \end{align*}$ nicht teilerfremd sind, dann gibt es ein $\begin{align*} d\in R\setminus R^\times \end{align*}$ mit $\begin{align*} p=ud,q=vd \end{align*}$ . Da $\begin{align*} p,q \end{align*}$ aber Primelemente, müssen $\begin{align*} u,v\in R^\times \end{align*}$ sein, d.h. $\begin{align*} p,q \end{align*}$ und $\begin{align*} d \end{align*}$ sind assoziert.

17.02.2015, 11:44

Elvis

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@StrunzMagi
d ist ein Teiler von p und q, kein Vielfaches. RavenOnJ hat das schon korrigiert, was du geschrieben hast.
Wenn du mit der Transitivität argumentieren willst, musst du sie beweisen.

Ganz direkt geht es so: $\begin{eqnarray*} p=ud\sim \frac u u v d =q \end{eqnarray*}$ .

17.02.2015, 11:57

StrunzMagi

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STimmt, da hab ich paar Sachen durcheinandergebracht. Aber wir hatten grade soviele Begriffe und die Beziehungen unter den Begriffen, dass es schwer ist da den Überblick zu behalten!
Vielen Dank, ich habe alles verstanden!
LG

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