Beweis: T ist surjektiv => T ist injektiv

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goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis: T ist surjektiv => T ist injektiv
hallo,

ich grübel schon den ganzen Tag über eine Aufgabe:

Sei T eine lineare Abbildung T: R^n -> R^n. Zeigen Sie:

Ist T surjektiv => T ist injektiv

Ich weiß folgendes:

T ist surjektiv kann man auch so schreiben: Bild T = R^n
und T ist injektiv wenn T(0) = 0 gilt. Bzw. Kern T = {0}.
Man kann auch schreiben: T(x) = T(y) <=> x = y bzw auch die negierte Form

Ich versuche jetzt schon die ganze Zeit irgendwie einen Weg zu finden. Leider hatte ich wenig Erfolg. Kann mir da jemand helfen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dir der Dimensionssatz schon bekannt? Damit wäre das direkt erledigt. smile
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

dim Kern T + dim Bild T = dim V

Ich seh ehrlich gesagt nicht was ich damit anfangen kann, sorry traurig
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, jetzt sehe ichs. Ganz schön einfach

dim Kern T + dim Bild T = dim V
Wenn T surjektiv ist, dann ist Bild T = V bzw hier R^n
Die Dimension von V ist auch n also:

dim Kern T + n = n
bzw:
dim Kern T = 0

Und wenn ich mich recht erinnere, dann ist eine Abbildung bei dim X nur dann 0, wenn das einzige Element in X der Nullvektor ist. Reicht die Argumentation?

also:

dim Kern T = 0
=> Kern T = {0}
=> T ist injektiv
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Passt. Freude
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider wurde mir gestern gesagt, dass ich den Dimensionssatz nicht nehmen darf. Mein Professor hat dann irgendwas von f(x)=A*x und Umkehrbarkeit gesagt.

Kann man das auch so beweisen: Ich bestimme die Determinante von A, zeige dass diese ungleich 0 ist, und habe somit bewiesen dass die Funktion umkehrbar ist. Wenn eine Funktion umkehrbar ist ist die bijektiv, und wenn die bijektiv ist ist die auch surjetiv.
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja klar geht das. Du meintest sicher, wenn die Abbildung bijektiv ist, ist sie auch injektiv (surjektiv war vorausgesetzt.) Aber wie zeigst du, dass die Determinante nicht 0 ist ?

Den direkten Weg finde ich einfacher: betrachte die Abbildung T auf einer Basis.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich darf doch die Determinante einfach herleiten. Und somit kann man dann zeigen dass die Determinante nicht null ist. Wenn das dann der Fall ist, weiß man ja dass die Abbildung auch injektiv sein muss, da wir vorrausgesetzt haben dass sie surjektiv ist. Finde ich ein bisschen popelig den Beweis aber definitiv leicht.

Wie soll das mit dem direkten Weg gehen? Ich versteh nicht ganz was du meinst.

EDIT: Ach, ja stimmt. Man kann ja gar nicht herausfinden wie die Determinante ist, wenn man keine konkrete Abbildung hat.

Jetzt bin ich etwas überfragt. Wie soll man das denn ohne den Dimensionssatz lösen?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das freut mich, dass ich mal wieder recht gehabt habe, und dass du es jetzt einsiehst. Big Laugh Zum Trost kommt hier der "direkte Beweis". Prost

Sei eine Basis von und eine surjektive lineare Abbildung. Dann ist wegen der Surjektivität eine Basis von . Die Umkehrabbildung auf der Basis induziert also die lineare Umkehrabbildung . Also ist bijektiv und insbesondere injektiv.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die Umkehrabbildung auf der Basis induziert also die lineare Umkehrabbildung . Also ist bijektiv und insbesondere injektiv.


Könntest du darauf näher eingehen. Der Rest ist mir jetzt klar, aber warum das jetzt unbedingt bijektiv sein muss nicht.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

"Eine Abbildung T ist bijektiv"

ist genau die gleiche Aussage wie

"Zu der Abbildung T existiert die Umkehrabbildung"
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, ich meine eigentlich warum wir aus dem satz davor schließen können dass es umkehrbar ist. sorry
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir haben z.B. Vektoren , diesen ordnet die 3 Vektoren zu, und das lässt sich unschwer und nur auf eine einzige Art und Weise umkehren zu , wenn für alle sein soll.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also mit anderen Worten: Wenn man eine Abbildung T: V -> W hat, und eine Basis B von V hat, diese dann auf W abbildet und W GESAMT aufspannt, dann muss die Abbildung umkehrbar sein. Wenn Die Basis von V nicht komplett auf W abbildet, also Elemente aus W nicht zugeordnet sind, dann wäre die Abbildung nicht umkehrbar?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, wenn eine Abbildung nicht surjektiv ist, gibt es Elemente in , denen kein Urbild zugeordnet ist, also ist T nicht umkehrbar.
goldfisch91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke Freude
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