Faktorielle Ring, Teiler, relativ prim

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RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Faktorielle Ring, Teiler, relativ prim
kgV: mir ist ein kleines Missgeschick beim Trennen des Themas unterlaufen Augenzwinkern Hier die Aufgabenstellung aus dem ersten Beitrag:
Zitat:
Original von StrunzMagi
Es sei R ein faktorieller Ring, und a,b teilerfremd.
Zeige:

Hallo,
Ich komme bei dem Bsp nicht weiter.

Wir hatten auch ein Lemma in der Vorlesung, dass in einem faktoriellen Ring R gilt:
sind nicht relativ prim irreduzibel, so dass für
Ist das Lemma hilfreich? Ich wäre dankbar über einen Tipp..
LG


-----Antwort von RavenOnJ

Da R faktoriell, haben und eine bis auf Assoziierung eindeutige Zerlegung in Primfaktoren. Ist dann und , dann muss wegen Teilerfremdheit von gelten ***.


kgV: Komplettlösung eliminiert. Zumindest den letzten Schritt sollte StrunzMagi schon selbst machen dürfen Augenzwinkern
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Der Hinweis ist also die Eigenschaft des faktoriellen Ringes auszunutzen:
mit irreduzibel.

Wenn (Letze Folgepfeil nutz die Teilerfremdheit von a und b) Da irreduzibel ist kann das Element keine Einheit sein. Also gilt ist assoziert zu einen der irreduziblen Elemente von v.

Ach,.. ich komm nicht drauf auf die Lösung traurig .
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StrunzMagi
Der Hinweis ist also die Eigenschaft des faktoriellen Ringes auszunutzen:
mit irreduzibel.

Wenn (Letze Folgepfeil nutz die Teilerfremdheit von a und b) Da irreduzibel ist kann das Element keine Einheit sein. Also gilt ist assoziert zu einen der irreduziblen Elemente von v.


Vor allem musst du die wesentliche Eigenschaft eines faktoriellen Rings ausnützen, dass eine solche obige Zerlegung in irreduzible Elemente eindeutig ist.

Was bedeutet es denn, wenn du irreduzible Elemente hast (bzw. hättest) mit (bzw. )? 1.) Sie sind assoziiert und 2.) sie sind nicht teilerfremd. Aus der Teilerfremdheit von folgt also, dass bei obiger (eindeutiger!) Zerlegung kein zu einem assoziiert sein darf, dass es aber ein bestimmtes (bzw. ) geben muss, zu dem ein (bzw. ) assoziert sein muss. Jetzt denke das weiter.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von RavenOnJ
Zitat:
Original von StrunzMagi
Der Hinweis ist also die Eigenschaft des faktoriellen Ringes auszunutzen:
mit irreduzibel.

Wenn (Letze Folgepfeil nutz die Teilerfremdheit von a und b) Da irreduzibel ist kann das Element keine Einheit sein. Also gilt ist assoziert zu einen der irreduziblen Elemente von v.

Vor allem musst du die wesentliche Eigenschaft eines faktoriellen Rings ausnützen, dass eine solche obige Zerlegung in irreduzible Elemente eindeutig ist.

Was bedeutet es denn, wenn du irreduzible Elemente hast (bzw. hättest) mit (bzw. )? 1.) Sie sind assoziiert und 2.) sie sind nicht teilerfremd. Aus der Teilerfremdheit von folgt also, dass bei obiger (eindeutiger!) Zerlegung kein zu einem assoziiert sein darf, dass es aber ein bestimmtes (bzw. ) geben muss, zu dem ein (bzw. ) assoziert sein muss. Jetzt denke das weiter.


Hallo,
Ja genau dass, kein zu einem assoziert sein kann hab ich in meinen letzten Beitrag gezeigt.

Es gibt ein bestimmtes zu dem ein assoziert sein muss und es gibt ein bestimmtes zu dem ein assoziert sein muss folgt aus den Gleichungen und .
Da kein zu einem assoziert sein kann folgt dass alle die jeweils zu einen der assoziert sind verschieden sein müssen von allen die jeweils zu einen der assoziert sind.
Da wir in einen Integritätsbereich sind unterscheiden sich von und von nur um eine Einheit.
mit
Jedes unterscheidet sich nur eine Einheit von einen bestimmten .
Jedes unterscheidet sich nur eine Einheit von einen bestimmten .

Nun weiß ich nicht wie ich das am besten anschreibe/erkläre - mein Versuch (etwas unmathematisch, vlt. kannst du mir helfen, dass in eine schöne Form zu bringen??)

Wenn ich mir anschaue habe ich von den irreduziblen multipliziert mit n+m Einheiten die ich aufgrund der Kommutativität und dass die Einheiten eine Gruppe bilden als eine Einheit sehen kann. Aber ich weiß nicht ob ich alle erwischen habe.
Die Fehlenden multipliziere ich mit und definiere dies als so gilt:


Liebe Grüße
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von StrunzMagi


Hallo,
Ja genau dass, kein zu einem assoziert sein kann hab ich in meinen letzten Beitrag gezeigt.

Es gibt ein bestimmtes zu dem ein assoziert sein muss und es gibt ein bestimmtes zu dem ein assoziert sein muss folgt aus den Gleichungen und .
Da kein zu einem assoziert sein kann folgt dass alle die jeweils zu einen der assoziert sind verschieden sein müssen von allen die jeweils zu einen der assoziert sind.

Hier würde ich bei den mit einer bestimmten Nummerierung arbeiten: Die sollen so nummeriert sein, dass die Teilbarkeitsbeziehungen sowie gelten sollen. Dass eine solche Nummerierung möglich ist und die Mengen und disjunkte Teilmengen der Gesamtmenge sein müssen, ist durch die Teilerfremdheit von bedingt. Das Produkt


lässt sich als

schreiben. Da würde ich dann weitermachen unter Berücksichtigung der Tatsache, dass ein Integritätsbereich ist, also u.a. kommutativ.
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke mit deiner Bezeichnung hab ich den Beweis in eine schöne Form gebracht.

Schönen Mittwoch nochAugenzwinkern
 
 
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