Matrix mit vollem Rang - Einheitsvektoren bilden Basis?

17.02.2015, 17:13	zutroy	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix mit vollem Rang - Einheitsvektoren bilden Basis? Hallo, ich habe eine kleine Verständnisfrage zum Thema Matrizen: Ich habe eine Matrix $\begin{eqnarray} A\in \mathbb R ^{3x3} \end{eqnarray}$ Sei der $\begin{eqnarray} rg(A)=n=3 (voller Rang) \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} det(A)\neq 0 \end{eqnarray}$ Gilt dann (unabhängig von den Matrixelementen, jedoch Rang=3): $\begin{eqnarray} Bild(A)=span\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ und eine Basis von Bild A: $\begin{eqnarray} Bild(A))=\left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\right\} \end{eqnarray}$ Kann ich also, sofern der Rang voll ist, immer die Einheitsvektoren des R^n für die Basis des Bildes nehmen, egal wie die Matrixelemente aussehen? Vielen Dank
17.02.2015, 17:23	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Denk mal kurz nach: Du hast eine Abbildung, die in den $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^3 \end{eqnarray}$ geht und es gibt drei linear unabhängige Vektoren, die den Bildraum erzeugen. Wie muss dann das Bild aussehen und welche Basis könntest Du wählen?
17.02.2015, 17:35	zutroy	Auf diesen Beitrag antworten »
z.b. die 3 Einheitsvektoren des R3.
17.02.2015, 18:00	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Das war ja deine Frage, aber ist Dir klar wieso Du die nehmen darfst?
17.02.2015, 19:10	zutroy	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil diese das minimalste Erzeugendensystem für den R3 darstellen, linear unabhängig sind und somit den gesamten R3 aufspannen und damit auch die Spalten der Matrix durch LK bilden bzw. dessen Bild.

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