Beschränktes Wachstum, keine Grenze angegeben aber dennoch Funktion bestimmen

17.02.2015, 23:45

INoxchi

Beschränktes Wachstum, keine Grenze angegeben aber dennoch Funktion bestimmen

Wie kann ich eine Funktion für ein beschränktes Wachstum ermitteln, wenn keine Grenze gegeben ist ?

Es geht um den Wachstum einer Planze, der anfangs näherungsweise exponentiell verläuft. Die Zeit in Monaten und Höhe in cm sind in einer Tabelle gegeben, jedoch nur von 0 bis 3 Monaten:

Zeit: 0 / 1 / 2 / 3
Höhe: 120 / 138 /153 / 165

nun soll ich mit den Informationene (und dass die Wachstumsgeschwindigkeit abnimmt nach einer gewissen Zeit) eine Funktion ermitteln, die diesen Wachstum beschreibt.

Meine Lösung:
Ich hab bereits eine exponentielle Funktion ermittelt, da ja von einer anfangs näherungsweise exponentiellen Wachstum die Rede war. ( f(t)=120e^0,121t )

Jedoch weiß ich nicht weiter, ich weiß nicht wie ich die Grenze (die eigentlich erst in Aufgabe b) berechnet werden soll) und das "c" zwischen der Grenze und dem "e", in der Formel für beschränktes Wachstum, ermitteln soll ? Mir reichen die Informationen irgendwie nicht aus. Wie würdet ihr vorgehen ?

18.02.2015, 13:18

mYthos

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Es handelt sich hier um die Funktion des beschränkten Wachstums.
Dabei gibt es eine Obergrenze S (Sättigungswert) und die Änderungsrate
(Wachstumsgeschwindigkeit = momentane Bestandsänderung mit der Zeit) ist proportional zum Sättigungsmanko S - B(t).

Um die Funktionsgleichung zu ermitteln, ist die zugehörige Differentialgleichung

$\begin{eqnarray*} B'(t) = k \cdot (S - B(t)) \end{eqnarray*}$

zu lösen. Diese ergibt (nach Anfangswertbestimmung für die Konstante c) dann als Funktion des beschränkten Wachstums

$\begin{eqnarray*} B(t) = S - (S - B(0)) e^{-kt}, \ \ k > 0 \end{eqnarray*}$

Anstatt des Klammerausdruckes sieht man auch oft eine Konstante, z.B. b

$\begin{eqnarray*} B(t) = S - b \cdot e^{-kt} \end{eqnarray*}$

Darin kann - fallweise - noch $\begin{eqnarray*} e^{-k} \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ersetzt werden, so ist schließlich

$\begin{eqnarray*} B(t) = S - b \cdot a^t, \ \ a < 1 \end{eqnarray*}$

Darin kannst du nun deine Werte einsetzen und die Konstanten (S, b, k) berechnen.

-----------------------------

Eine artverwandte Wachstumsfunktion ist die des logistischen Wachstums. Auch hier gibt es einen Sättigungswert und die Wachstumsgeschwindigkeit (momentane Bestandsänderung mit der Zeit) ist proportional zum momentanen Bestand UND zum Sättigungsmanko.
Oft können mit dieser Funktion Wachstumsvorgänge in der Wissenschaft und der Natur besser modelliert werden.

______________________________

Zu deinen Messwerten gibt es eine bildschöne "begrenzte Wachstumsfunktion", man kann diese in Excel sehr gut nachmodellieren.
Die Werte für k, S und b mögest du berechnen. Ich habe sie zwar berechnet, aber in der Grafik zunächst mal verdeckt.

[attach]37258[/attach]

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mY+

19.02.2015, 17:18

INoxchi

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Danke für die ausführliche Antwort. Das sieht sehr kompliziert aus, aber ich werde versuche das zu verstehen smile

20.02.2015, 00:12

mYthos

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Du kannst/sollst durchaus noch nachfragen, wenn hier etwas unklar ist.
Die Berechnung von B(t) ist ohnehin nicht ganz einfach.
Statt dessen kann man (in Excel) auch eine Regression mittels Minimierung der Summe der Fehlerquadrate durchführen. Diese liefert (gerundet) k = 0,2, S = 220, b = 100 mit sehr guter Übereinstimmung.

Die allgemeine Funktionsgleichung darf auch als bekannt betrachtet werden, ohne dass man diese mittels der Differentialgleichung herleiten muss.

mY+

20.02.2015, 00:50

INoxchi

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Ich habe ein Nachfrage, die nicht unbedingt hier rein passt, aber dennoch sehr wichtig ist:

Wenn ich eine e-Funktion logarithmieren will, und vor dem e eine Zahl steht, wie machen ich das dan mit ln ?

z.B.: e^(-0,5)*x = 43e^(-3)*x^2

Wenn ich hier den Logarithmus naturalis ziehen will, wie schreibe ich dass dan auf der rechten Seite ?

20.02.2015, 09:32

Dopap

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$\begin{eqnarray*} \ln(x)-0.5=\ln(43) -3 +2\ln(x) \end{eqnarray*}$

22.02.2015, 19:48

INoxchi

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Warum ln(x) ? Müsste das dann nicht ln(e) sein auf der linken Seiten ?

Sprich im Ganzen: -0,5x+ln(e)

22.02.2015, 19:55

INoxchi

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Zitat:

Original von mYthos
Du kannst/sollst durchaus noch nachfragen, wenn hier etwas unklar ist.
mY+

Wie würde ich jetzt anfangen, wenn ich diese Gleichung habe. Welchen Wert wäre am besten, als erstes bestimmt zu werden ?

a kann man ja ganz leicht bestimmen, aber bei den anderen wird das schwerer. Denn egal was ich für Werte aus der Tabelle einsetze, habe ich immer diese zwei Unbekannten (S und b) in der Gleichung verwirrt

22.02.2015, 21:05

mYthos

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Zitat:

Original von INoxchi
Warum ln(x) ? Müsste das dann nicht ln(e) sein auf der linken Seiten ?

Sprich im Ganzen: -0,5x+ln(e)

Offensichtlich meintest du e^(-0,5*x), also $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$ , da hast du also die Klammer falsch gesetzt bzw. unterlassen, bei e^((-0,5)*x)
In diesem Fall ist der Logarithmus der linken Seite -0,5x oder -x/2

Du siehst, auch -0,5x + ln(e) ist falsch, denn bei der Potenz musst du mit der Hochzahl multiplizieren, also muss das lauten: -0,5x * ln(e)
Und was ist ln(e) ?

mY+

23.02.2015, 16:51

mYthos

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Zur Wachstumsfunktion:

Zeit: 0 / 1 / 2 / 3
Höhe: 120 / 138 /153 / 165

B(0) ist bekannt, zur Zeit t = 0 ist der Bestand gleich 120.

Mit noch zwei Wertepaaren (1; 138) und (3; 165) gehen wir nun in die Funktionsgleichung ein:

$\begin{eqnarray*} B(t) = S - (S - B(0)) e^{-kt}, \ \ k > 0 \end{eqnarray*}$
-------------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (1): \ 138 = S - (S - 120) e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2): \ 165 = S - (S - 120) e^{-3k} \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (1): \ S - 138 = (S - 120) e^{-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2): \ S - 165 = (S - 120) e^{-3k} \end{eqnarray*}$
---------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} (1): \ e^{-k} = \frac {S - 138}{S - 120} \end{eqnarray*}$

in (2)

$\begin{eqnarray*} (2): \ (S - 165) = \frac {(S - 138)^3}{(S - 120)^2} \end{eqnarray*}$

Die Gleichung nach S löst du am besten mittels GTR oder CAS. [S = rd. 221,6, Richtwert 220]
Danach ist aus (1) k zu berechnen.

[attach]37301[/attach][attach]37364[/attach]

mY+

21.04.2015, 18:07

INoxchi

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Mit diesen Abbildungen komme ich nicht zu Recht, dass dadrüber habe ich verstanden.
Danke für deine Hilfe, habe den Ansatz erkannt smile

22.04.2015, 12:47

mYthos

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Die beiden Grafiken behandeln das Lösen des Systemes auf verschiedenen Wegen.

In der ersten wurde die Summe der Differenzquadrate (mittels des Solvers) minimiert (Regression auf die Exponentialfunktion des begrenzten Wachstums),
in der zweiten das Gleichungssystem exakt aufgelöst, welches sich nach Einsetzen der gegebenen Wertepaare für die Parameter der Wachstumsfunktion ergibt.

Im Prinzip kannst du dazu jedes CAS (algebraisches Hilfssystem) verwenden, ggf. auch manuell mit dem TR.

mY+

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