Kongruenz und modulo

18.02.2015, 12:31

chillerStudent

Kongruenz und modulo

Hallo,

wie berechne ich das x aus:

$\begin{eqnarray*} 10^{100000000}\equiv x mod 11 \end{eqnarray*}$

Ich habe hier eine Lösung die ich nicht verstehe:
$\begin{eqnarray*} 10\equiv -1 mod 11 \end{eqnarray*}$

Wie kommt man auf -1 ? Mit 10 - 11 ? Welche Rechenregel ist das?

18.02.2015, 12:37

teerhrtjuh

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$\begin{eqnarray*} 10\equiv -1\mod 11 \end{eqnarray*}$

gilt, weil 10=-1+11 ist, also in der selben Restklasse modulo 11 liegen.

Die Frage sollte eher lauten "wieso reicht es $\begin{eqnarray*} (-1)^{10000000}\mod 11 \end{eqnarray*}$ zu bestimmen".
Da gibt es einen Satz, dessen Name mir entfallen ist (Euler oder Fermat, vielleicht aber auch was ganz anderes...)

18.02.2015, 12:38

Elvis

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Das ist die Definition
$\begin{eqnarray*} a\equiv b(mod\;m)\Leftrightarrow m|a-b \end{eqnarray*}$
Also
$\begin{eqnarray*} 10\equiv -1(mod\;11)\Leftrightarrow 11|10-(-1)=11 \end{eqnarray*}$

18.02.2015, 12:41

Elvis

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@teerhrtjuh
Da braucht man keinen Satz. Eine "Kongruenzrelation" ist eine "Äquivalenzrelation", die mit den Rechenoperationen verträglich ist.
Die Gültigkeit der Formeln lässt sich sofort aus der Definition der Teilbarkeit herleiten.

18.02.2015, 13:22

chillerStudent

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Danke !!

18.02.2015, 13:27

chillerStudent

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Wie sieht das mit dieser Konruenz aus?

$\begin{eqnarray*} 10^{111111111}\equiv x mod 11 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> \equiv -1^{11111111} mod 11 <br /> \equiv -1 mod 11 <br /> \equiv 10 mod 11 <br /> \end{eqnarray*}$

wie kommt man am Ende auf 10 ?

18.02.2015, 13:33

HAL 9000

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Oben stand bereits $\begin{align*} 10\equiv -1\bmod 11 \end{align*}$ , und du fragst jetzt "wieso ist $\begin{align*} -1\equiv 10\bmod 11 \end{align*}$ " ?

Du weißt schon, dass die Kongruenzrelation symmetrisch ist?

18.02.2015, 13:41

chillerStudent

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Nein meine Frage ist wie man von

$\begin{eqnarray*} 10^{11111111} \equiv -1 mod 11 \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} 10^{11111111} \equiv 10 mod 11 \end{eqnarray*}$ kommt?

18.02.2015, 13:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von chillerStudent
Nein

Sag mal, kennst du überhaupt keine Rechenregeln der Modulo-Rechnung??? Z.B. die Transitivität

Aus $\begin{align*} a\equiv b\bmod m \end{align*}$ und $\begin{align*} b\equiv c\bmod m \end{align*}$ folgt $\begin{align*} a\equiv c\bmod m \end{align*}$ .

Insofern ist dein "Nein" völlig sinnfrei.

18.02.2015, 13:55

Captain Kirk

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Ich glaub eher hier ist folgendes unbekannt:
$\begin{eqnarray*} (-1)^{\text{ungerade}}=-1 \end{eqnarray*}$

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