Lösungsmöglichkeiten bei LGS |
| 18.02.2015, 19:49 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Lösungsmöglichkeiten bei LGS das Skript meiner Vorlesung zur linearen Algebra hat ein Kapitel "Determinanten" und ein Kapitel "Lineare Gleichungssysteme". Ich bin etwas verwirrt. Im Kapitel "Determinanten" werden die drei Fragen gestellt: 1. ist das LGS lösbar? 2. ist es eindeutig lösbar? 3. wenn ja, was sind die Lösungen? Darauf aufbauend wird dann gesagt, dass ein LGS dann eindeutig lösbar ist, wenn die Determinante der Matrix (also die Matrix zum LGS) nicht 0 ist. So weit so gut. Auf die Fragen was die Lösung ist wird nicht eingegangen. Danach folgt ein Kapitel "Lineare Gleichungssysteme" in dem gezeigt wird, wie man mittels der erweiterten Koeffizientenmatrix LGS löst. Die Fragen die da oben stehen, sehe ich im ersten Kapitel nicht beantwortet, da dort nur über die Determinante und somit die eindeutige lösbarkein thematisiert wird, womit man 2. und im Prinzip auch 1. abgedeckt hat. Was ist denn wenn das LGS nicht eindeutig lösbar ist, sondern mehrere Lösungen hat? Ist die Regel, dass ein LGS lösbar ist wenn die Determinante der Matrix dazu ungleich 0 ist quasi nur ein Test, um dann durch die erweiterte Koeffizientenmatrix dann nach der Lösung zu finden? Mir fällt es schwer da den Zusammenhang zu sehen ehrlich gesagt. |
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| 18.02.2015, 23:16 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Verständnisproblem mit der Determinante
Bei linearen Gleichungssystemen gibt es immer genau 3 Möglichkeiten. Es hat:
Das was du mit "mehreren Lösungen" beschreibst ist dann also immer Fall 3 (unendlich viele Lösungen). Es gibt nicht den Fall, dass es 3 oder 4 oder 7 Lösungen gibt. Deine Frage bezieht sich offenbar auch auf den Spezialfall der quadratischen Koeffizientenmatrix (denn nur davon kannst du eine Determinante berechnen). Der allgemeine Fall ist der einer -Matrix, wobei n<m, n=m oder n>m sein kann. Bleiben wir aber mal bei dem Fall n=m. Dann hast du also eine quadratische Koeffizientenmatrix. Eine eindeutige Lösung gibt es, wenn die Determinante der Koeffizientenmatrix nicht verschwindet. Wenn du die Determinante D berechnet hast, kannst du diese Berechnung auch für die Lösung des Systems nutzen. Es ist nämlich , wobei die Determinante der Matrix ist, die entsteht, wenn du die erste Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite ersetzt. Entsprechendes gilt für die anderen Variablen. Wenn jetzt die Determinante 0 ist kann es sein, dass es keine oder unendlich viele Lösungen gibt. Das kannst du auch wieder über die Berechnung von Determinanten entscheiden. Keine Lösung gibt es dann, wenn du in der erweiterten Koeffizientenmatrix (das ist die Matrix die entsteht, wenn du die rechte Seite als n+1. Spalte hinzunimmst) eine Unterdeterminante der Ordnung n finden kannst die nicht 0 wird. Wenn alle Unterdeterminanten der Ordnung n null sind, gibt es unendlich viele Lösungen. |
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