Banachraum und Hilbertraum

20.02.2015, 21:15

balance

Banachraum und Hilbertraum

Hallo,

In einem Skript von mir heisst es:

Zitat:

Ein normierter Vektorraum ist ein Paar (X, ||.||) welches aus einem reellen Vektorraum X und einer Normfunktion ||.||auf X besteht. Eine wichtige Klasse normierter Vektorräume sind solche bei denen die Norm von einem inneren Produkt erzeugt wird. Ein inneres Produkt auf einem reellen Vektorraum X ist eine bilineare Abbildung $\begin{eqnarray*} X x X \to \mathbb R : (x,y) \to <x,y> \end{eqnarray*}$ welche die Bedingung $\begin{eqnarray*} <x,x>>0 & \forall x \in X\ \{0\} \end{eqnarray*}$ erfüllt. Ist solch ein inneres Produkt gegeben, so definiert die Formel (1) $\begin{eqnarray*} ||x||:= \sqrt{<x,x>} & \forall x \in X \end{eqnarray*}$ eine Norm und es gilt die Cauchy Schwarz Ungleichung. Jeder normierte Vektorraum (X, ||.) besitzt eine Abstandsfunktion d (...). Dadurch wird also (x, d) zu einem metrischen Raum. Ein normierter Vektorraum (X, ||.||) heisst Banachraum wenn der zugehörige metrische Raum (X, d) völlständig ist, d.h. wenn jede Cauchy.Folge in X konvergiert. Ein (reeller) Hilbertraum ist ein Paar (X, <.,.>) welches aus einem reellen Vektorraum X und einem inneren Produkt <.,.> auf X besteht, so dass der zugehörige metrische Raum (X, d) mit der durch 1 und 2 (2 ist d)definierten Abstandsfunktion völlständig ist. ALso ist jeder Hilbertraum auch ein Banachraufm mit der durch (1) definierten Normfunktion.

Kurzfassung: Ein Banachraum + Skalarprodukt als Norm = Hilbertraum. Wobei ein Banachraum ein völlständiger metrischer Vektorraum ist. (Wir hatten Hilberträume nie im Detail, das ist wohl nur ne Nebenbemerkung, daher rollts das ganze bitte nicht zu extrem auf. Ich weis dass es sowas wie Prähilberträume etc gibt, weil ich davon auf Wiki gelesen habe, aber es ist bis jetzt nicht Teil von dem was wir können sollten.)

Okay. Weiter haben wir einen Satz der besagt:

Zitat:

Sei X ein endlich. dim. reelen Vrm. Dann sind je zwei Normen auf X äquivalent.

Der Satz wurde nur repetitionsweise wiederholt, finde das "original" daher nicht mehr. Kann also nicht mehr den Beweis nachschauen, was mir das ganze evtl. kurz etwas klarer gemacht hätte.

Hier meine Fragen: (Vrm=endlich dimensionaler reeller Vektorraum)
1. Heisst der Satz, dass alle möglichen Normen auf einem Vrm jede mögliche Norm äquivalent zueinadner sind?
2. Wann hat ein Vrm mehrere Normen? Z.b. Sei V der Vrm (V, ||.||). Hat nun V nur eine Norm, und zwar ||.|| oder impliziert die Tatsache dass er ein Vrm ist, alle möglichen Normen?
3. Wenn jede Norm äquivalent ist, inwiefern unterscheidet sich dann ein Banachraum vom Hilbertraum? Immerhin sind deren Normen ja äquivalent.
4. Wie wurde die Definition der Äquivalenz"formel" für Normen motiviert? Ich kann sie anwenden aber ich seh nicht, wieso sie genau so aussieht, was evtl. zu den obigen Fragen resultiert.

Danke.

20.02.2015, 22:11

Guppi12

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Hi,

Zitat:

1. Heisst der Satz, dass alle möglichen Normen auf einem Vrm jede mögliche Norm äquivalent zueinadner sind?

Nein, eben nur auf endlich dimensionalen Vektorräumen. Das ist wichtig!

Zitat:

2. Wann hat ein Vrm mehrere Normen? Z.b. Sei V der Vrm (V, ||.||). Hat nun V nur eine Norm, und zwar ||.|| oder impliziert die Tatsache dass er ein Vrm ist, alle möglichen Normen?

Wenn es eine Norm gibt, gibt es immer bereits unendlich viele Normen, denn man kann eine Norm einfach mit einer konstanten positiven Zahl multiplizieren und erhält eine neue Norm. Wie Normen "impliziert" werden können, ist mir nicht ganz klar.

Zitat:

3. Wenn jede Norm äquivalent ist, inwiefern unterscheidet sich dann ein Banachraum vom Hilbertraum? Immerhin sind deren Normen ja äquivalent.

Nur weil zwei Normen äquivalent sind, heißt das nicht, dass beide von einem Skalarprodukt herkommen müssen. Und außerdem gilt das mit den äquivalenten Normen ja auch nur für endlichdimensionale Räume, wie oben erwähnt.

Zitat:

4. Wie wurde die Definition der Äquivalenz"formel" für Normen motiviert? Ich kann sie anwenden aber ich seh nicht, wieso sie genau so aussieht, was evtl. zu den obigen Fragen resultiert.

motiviert wird das wohl dadurch, dass bei äquivalenten Normen jeweils in einem beliebig kleinen Ball der einen Norm noch einer der anderen Norm drin liegt. Daraus folgt, dass beiden Normen der gleiche Konvergenzbegriff zugrunde liegt.

21.02.2015, 02:23

Jayk

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Ergänzung zu Frage 3: Es gibt ein notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, dass eine Norm von einem Skalarprodukt induziert wird, und das ist die Gültigkeit der Parallelogrammidentität $\begin{eqnarray*} \| x + y \|^2 + \| x - y \|^2 = 2(\| x \|^2 + \| y \|^2 ) \end{eqnarray*}$ .

Ein Beispiel für einen endlichdimensionalen Banachraum, dessen Norm nicht von einem Skalarprodukt induziert ist, ist R^n mit der Maximumsnorm.

21.02.2015, 10:44

balance

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Okay, danke. Ich muss mir heut mal ne Stunde zeit nehmen, und dass alles im Detail durchgehen. Anmerken würde ich gerne: Ich ging bei Frage 1-4 immer von einem reellen, endlich dimensionalen Vektorraum aus. (Steht in der Klammer oben)

Ich möchte meine Frage noch ein wenig anders stellen:

Sei A=(V, ||.||) ein reeller, vollständiger, endlich dimensionaler Vektorraum. Sei weiter dessen Norm ||.|| ungleich des Skalarprodukts, also: $\begin{eqnarray*} ||.||_A \neq \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$ . So heisst A ein Banachraum.

Sei B=(V, <.,.>) ein reeller, vollständiger, endlich dimensionaler Vektorraum. So heisst A ein hilbertraum.

Korrekt?

Weiter: Sei ein reeller endlich dimensionaler Vektorraum gegeben. Je zwei Normen auf diesen Vektorraum sind äquivalent, ergo sind alle möglichen Normen äquivalent. Sprich, die Maximumsnorm ist äquivalent zur euklidischen Norm bzw. zur p-Norm etc.

Korrekt?

Äquivalent heisst für mich, ich kann die Norm austauschen und es ändert sich absolut gar nichts. (Ich denke, hier liegt wohl mein Problem)

Ich geh jetzt mal hinter die Bücher. Danke!

21.02.2015, 15:57

Guppi12

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Zitat:

Sei A=(V, ||.||) ein reeller, vollständiger, endlich dimensionaler Vektorraum. Sei weiter dessen Norm ||.|| ungleich des Skalarprodukts, also: $\begin{eqnarray*} ||.||_A \neq \sqrt{<v,v>} \end{eqnarray*}$ . So heisst A ein Banachraum.

Norm ungleich Skalarprodukt ist etwas problematisch, weil das erstmal zwei verschiedene Sachen sind, ich weiß aber was du meinst. Allerdings muss das nicht gefordert werden, da auch ein Hilbertraum ein Banachraum ist. Ansonsten richtig.

Das zweite stimmt auch.

Zitat:

Weiter: Sei ein reeller endlich dimensionaler Vektorraum gegeben. Je zwei Normen auf diesen Vektorraum sind äquivalent, ergo sind alle möglichen Normen äquivalent. Sprich, die Maximumsnorm ist äquivalent zur euklidischen Norm bzw. zur p-Norm etc.

Ja, richtig, wobei auch die beiden erst genannten Normen p-Normen sind.

Zitat:

Äquivalent heisst für mich, ich kann die Norm austauschen und es ändert sich absolut gar nichts. (Ich denke, hier liegt wohl mein Problem)

Das ist in der Tat nicht richtig. Die Definition ist dir bekannt? Die offenen Mengen, und damit der Konvergenzbegriff ändern sich nicht, die Cauchyfolgen sind auch die gleichen. Andere Eigenschaften können sich durchaus unterscheiden.

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