Dimension und Kern/Bild |
| 21.02.2015, 12:05 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Dimension und Kern/Bild also das Bild ist ja (simpel gesagt) wenn man T(x) = y dann das y "auseinandergezogen". Also zum beispiel: für f(a) = (y+z, y, z)^T = b ist das Bild dann einfach b = y*(1, 1, 0)^T + z*(1, 0, 1)^T Die Dimension wäre dann 2, weil die Anzahl der Vektoren des Basis zwei beträgt. Jetzt ist meine Frage, ob man ggf. noch gucken muss ob das Bild überhaupt linear unabhängig ist. Also angenommen da wäre jetzt noch ein Vektor der sich als Linearkombination der anderen darstellen lässt. Müsste man den dann vorher "wegstreichen" um danach dann die Dimension zu bestimmen? Oder soll man das Bild lieber zusammenfassen so wie hier b = y*(1, 1, 0)^T + z*(1, 0, 1)^T + x*(2, 0 ,2) ^T dann die 2 vor den letzten vektor ziehen und das dann so aufschreiben: b = (y + 2*x)(1, 1, 0)^T + z*(1, 0, 1)^T meine frage auf dem punkt gebracht: Wenn man die Dimension des Kerns oder der Basis bestimmen soll, muss man vorher gucken ob das Bild linear unabhängig ist und diese Vektoren dann zählen? Außerdem: oder muss man prinzipiell das Bild bzw den Kern linear unabhängig machen wenn es vorher linear abhängig ist, um das "wirkliche" Ergebniss des Kerns und des Bildes zu bekommen? |
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| 21.02.2015, 12:16 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Dimension und Kern/Bild Hallo,
Nein, das Bild eine Vektorraum, kein Vektor. Ein Vektorraum ist niemals linear unabhängig, da er den Nullvektor enthält. Lineare Unabhängigkeit ist nur ein Begriff für Vektoren, nicht Vektorräume. |
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| 21.02.2015, 12:22 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Also selbst wenn ich das Bild so aufschreibe, und da zufälligerweise Vekotren habe die ich als Linearkombination der anderen darstellen könnte, ist die Dimension immer noch die Anzahl der Vektoren, also hier 2? |
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| 21.02.2015, 12:29 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich sehe nicht, dass du hier irgendwo das Bild aufgeschrieben hättest. Du hast b=... geschrieben, und das ist ein Vektor kein Vektorraum. Um ganz ehrlich zu sein, sehe ich hier nichtmal wirklich eine Abbildung. (was hat z.B. a mit x,y,z zu tun?)
welche vektoren? Weißt du was der Begriff Demsion eines Vektorraums bedeutet? (Falls nicht Definition nachschlagen) |
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| 21.02.2015, 12:41 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich hol dann mal weiter aus. Also erst einmal zu deiner Frage: Die Dimension eines Vektorraums ist die Anzahl der Vektoren einer Basis des Vektorraums. Gegeben sei folgende lineare Abbildung: T(a) = (y + z, y, z)^T bzw: (geschweifte Klammern hab ich irgendwie nicht hinbekommen) Das ist dann das Bild, oder? Ist da formal was falsch? |
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| 21.02.2015, 12:54 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Nein, das ist genau das gleiche wie vorher. Was ist a und was hat es mit x, y und z zu tun? Ferner ist das nur die Abbildungsvorschrift, es fehlen Quelle (Urbild) und Ziel (Bild). Und ja so ist das Bild richtig aufgeschrieben. Ich hoffe dir ist der Unterschied zwischen dem was du jetzt und was du zuvor geschrieben hast klar.
Du hast zuvor eine falsche Abkürzung genommen. Von daher ist es eigentlich kein weiter ausholen, sondern ein erstmals ausreichend ausholen. In deiner letzten Darstellung hast du jetzt zwei Vektoren, die ein Erzeugendensystem bilden. Eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Dementsprechend ist noch zu zeigen, dass die Vektoren lin. anabh. sind. Wenn es nur um die Dimension des Bildes ist ist es einfacher den Rang einer darstellenden Matrix zu bestimmen. Und für { und } in LaTeX: \( und \} |
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| 21.02.2015, 13:05 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Danke. Ich hab da noch ein kleines Verständnisproblem. Ich habe in der letzten Darstellung (in diesem Fall) zwei Vektoren. Jetzt sagst du dass das automatisch (ohne zu Beweisen) ein EZS ist. Ich habe in anderen Aufgaben gesehen, dass man beweisen musste ob ein EZS vorliegt. Macht man das hier nicht, weil man von der Abbildung aus das "auseinanderzieht" und somit automatisch ein EZS sein muss? Also meinst du, dass wenn man das so auseinandergezogen hat wie in der letzten Darstellung, und gefragt ist wie die Dimension des Bildes ist, dann noch beweisen muss bzw prüfen muss ob das EZS linear unabhängig ist? Wenn die jetzt linear abhängig wären, müsste man den/die Vektor/en "streichen"? Also angenommen man hätte jetzt 4 Vektoren, und es stellt sich heraus, dass einer sich als Linearkombination der anderen 3 darstellen lässt. Wenn man das bewiesen hat, dann kann man einfach hinschreiben "dim Bild T = 3". Oder muss ich da noch mehr beweisen? |
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| 21.02.2015, 13:12 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Wenn du dir die Frage stellst ist die Antwort immer ja. Wenn du der Meinung bist, dass noch etwas zu zeigen ist, zeige es.
Das zeigt nur , denn die drei Vektoren lönnen ja auch lin. abh. sein. |
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| 21.02.2015, 13:18 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich weiß aber nicht wie man das konkret beweisen soll. Ich würde einfach gucken ob sich ein Vektor als Linearkombination der anderen darstellen lässt, und den dann einfach streichen, oder nicht? |
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| 21.02.2015, 13:33 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Du beweist das Vekroen lin. unabh. sind in dem du zeigst, dass sie die Defintion der lin. Unabhängigkeit erfüllen.
Nein, wie ich schon gesagt habe. Das zeigt nicht das die übrigen Vektoren linear unabhängig sind, nur dass die gegebenen Vektoren linear abhängig sind. |
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| 21.02.2015, 13:37 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Na gut, dann beweise ich halt ob die LK der Vektoren nur im trivialen Fall den Nullvektor bilden. Und wenn ich dann aber feststelle, dass ich den Nullvektor auch nicht trivial lösen kann, sind die Vektoren ja linear abhängig. Und was hab ich dann davon? Ich muss doch wissen welche Vektoren ich streichen muss damit ich dementsprechen die Dimension bestimme. |
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| 21.02.2015, 13:49 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe nicht gesagt, dass damit die Dimension bestimmt werden soll. Deine Methode ist dafür aber auch genausowenig geeignet. Wie man die Dimension sinnvoller bestimmen kann hab ich bereits vor mehreren Posts geschrieben:
Ich hab übrigens keinen Bock mich dauernd zu wiederholen. Bitte lies dir meine Posts auch durch. |
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| 21.02.2015, 13:53 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Achso, der Rang und der Dimensionssatz sind nicht Teil meiner Vorlesung. Deswegen darf ich das auch nicht verwenden. |
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| 21.02.2015, 13:59 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ganz ehrlich: Das glaub ich dir nicht. Ich halte es für deutlich wahrscheinlicher, dass du es schlicht im Skript überlesen hast (so wie manches auch hier) |
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| 21.02.2015, 14:01 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Bitte glaub mir. Ich wollte im Tutorium den Dimensionssatz anwenden, und da hat unser Professor gesagt, dass wir den Rang und den Dimensionssatz nicht verwenden dürfen, weil diese nicht Teil der Vorlesung sind. Vielleicht glaubst du mir, wenn ich dir sage dass ich nur auf einer Fasthochschule bin? 
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| 21.02.2015, 14:08 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Was ist das denn? Scheinbar kennst du ja aber was es ist (woher auch immer). Damit kannst du ja die Dimension bestimmen. Und für den Prof. reduziert du dein EZS zur Dimension und zeigst die lin. Unabh. |
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| 21.02.2015, 14:12 | goldfisch91 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Fachhochschule. Ich hab das in einem Lehrbuch gelesen.
Kannst du das mal konkret zeigen? Ich dachte halt dass ich genau das geschrieben habe, und du hast dann immer gesagt dass das nicht korrekt ist. Jetzt bin ich verwirrt. Also stimmt das doch, dass man das EZS halt aussiebt um die Dimension zu bestimmen, bzw die Basis zu bekommen. |
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| 21.02.2015, 14:18 | Captain Kirk | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Ich habe geschrieben dass man das nicht nutzt um die Dimension zu bestimmen, danach hattest du gefragt.
Dazu wie man die Basis bestimmt hab ich nichts gesagt. Dazu eignet sich der Gauß-Algorithmus am besten. |
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