Skalarprodukt auf R² |
23.02.2015, 16:43 | WirJun001 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Skalarprodukt auf R² Die Aufgabe: Es sei < - , - > ein Skalarprodukt auf R² so, dass ((1, 2),(2, 1)) eine Orthonormalbasis von R² bezüglich < - , - > ist. Dann ist < (3, 3),(0, 3) > gleich... Als Ergebnis sollte 3 rauskommen. Kann mir jemand sagen, wie man auf dieses Ergebnis kommt (wenn möglich mit Rechenweg) Meine Ideen: leider habe ich keine Idee wie man auf dieses Ergebnis kommen könnte. - WirJun |
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23.02.2015, 17:08 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R² Du musst die beiden Vektoren als Linearkombination der beiden Basisvektoren darstellen. Beim ersten Vektor sieht man mit einem Auge wie die Linearkombination lautet. Für den zweiten Vektor stellst du ein entsprechendes Gleichungssystem auf. Dann drückst du das Skalarprodukt durch diese Linearkombinationen aus und benutzt dabei die Eigenschaften eines Skalarproduktes sowie die Orthonormalität der Basisvektoren. |
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23.02.2015, 19:54 | WirJun | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R² ok wenn ich das Gleichungssystem für das erste Skalarprodukt löse, dann kommt folgendes Ergebnis raus: und was muss ich dann weiter machen? |
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23.02.2015, 20:09 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R²
Wie, für das erste Skalarodukt. Du hast doch nur ein Skalarprodukt das du berechnen sollst. Was sind das für Vektoren, die du berechnet hast? Du musst doch Skalare bestimmen und keine Vektoren. Die Frage ist: Welche Linearkombination der Basisvektoren ergeben die beiden Vektoren deren Skalarprodukt du berechnen sollst. Mit anderen Worten: Wie müssen gewählt werden, damit ist. Entsprechendes brauchst du für den zweiten Operanden deines Skalarprodukts. |
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24.02.2015, 09:50 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
Das verallgemeinerte Skalarprodukt im R² lautet Gesucht ist also die Matrix G, die man als Metrik bezeichnet. Im euklidischen Raum ist die Metrik offenbar die Einheitsmatrix und kann weggelassen werden. Die Metrik muss symmetrisch sein, also , weil das Skalarprodukt beim Vertauschen der Faktoren das gleiche Ergebnis liefern soll, also . Das Bestimmen der 3 Zahlen führt auf ein lineares Gleichungssystem. Versuche mal, das Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen. ---------------------------------------------------------------------------------------------- Ich gebe das Ergebnis mal an. |
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24.02.2015, 12:28 | WirJun | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R²
Ja stimmt das war falsch von mir, also Für das erste Skalarprodukt: Für das zweite Skalarprodukt: Und wenn man die Ergebnisse nur alle zusammenzählt, kommt man auf das gewünschte Ergebnis? |
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24.02.2015, 13:43 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R²
Du meinst nicht für das erste und zweite Skalarprodukt, sondern für den ersten und zweiten Vektor. Richtig gerechnet hast du aber. (Allerdings hast du im zweiten Fall vertauscht.)
Ich weiß jetzt nicht so genau, was du mit zusammenzählen meinst. Wenn du deine beiden Basisvektoren mit bezeichnest, dann gilt jetzt also: und Jetzt benutzt du die rechten Seiten um das Skalarprodukt auszurechen. Dabei berücksichtigst du, dass eine Orthonormalbasis bilden. Du kennst also und . |
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24.02.2015, 13:53 | WirJun | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R²
Tut mir leid, aber wie soll das funktionieren? |
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24.02.2015, 14:35 | sixty-four | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Skalaprodukt auf R² Du nutzt die Eigenschaften eines Skalarprodukts: |
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