Skalarprodukt auf R²

23.02.2015, 16:43

WirJun001

Skalarprodukt auf R²

Meine Frage:
Die Aufgabe:
Es sei < - , - > ein Skalarprodukt auf R² so, dass ((1, 2),(2, 1)) eine Orthonormalbasis von R² bezüglich < - , - > ist. Dann ist < (3, 3),(0, 3) > gleich...

Als Ergebnis sollte 3 rauskommen. Kann mir jemand sagen, wie man auf dieses Ergebnis kommt (wenn möglich mit Rechenweg)

Meine Ideen:
leider habe ich keine Idee wie man auf dieses Ergebnis kommen könnte.

- WirJun

23.02.2015, 17:08

sixty-four

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RE: Skalaprodukt auf R²
Du musst die beiden Vektoren

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}3 \\ 3 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix}0 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

als Linearkombination der beiden Basisvektoren darstellen. Beim ersten Vektor sieht man mit einem Auge wie die Linearkombination lautet. Für den zweiten Vektor stellst du ein entsprechendes Gleichungssystem auf. Dann drückst du das Skalarprodukt durch diese Linearkombinationen aus und benutzt dabei die Eigenschaften eines Skalarproduktes sowie die Orthonormalität der Basisvektoren.

23.02.2015, 19:54

WirJun

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RE: Skalaprodukt auf R²
ok wenn ich das Gleichungssystem für das erste Skalarprodukt löse, dann kommt folgendes Ergebnis raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und was muss ich dann weiter machen?

23.02.2015, 20:09

sixty-four

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RE: Skalaprodukt auf R²

Zitat:

Original von WirJun
ok wenn ich das Gleichungssystem für das erste Skalarprodukt löse, dann kommt folgendes Ergebnis raus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} und \begin{pmatrix} \frac{2}{3} \\ -\frac{1}{3} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie, für das erste Skalarodukt. Du hast doch nur ein Skalarprodukt das du berechnen sollst. Was sind das für Vektoren, die du berechnet hast? Du musst doch Skalare bestimmen und keine Vektoren.
Die Frage ist: Welche Linearkombination der Basisvektoren ergeben die beiden Vektoren deren Skalarprodukt du berechnen sollst.

Mit anderen Worten: Wie müssen $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Entsprechendes brauchst du für den zweiten Operanden deines Skalarprodukts.

24.02.2015, 09:50

Ehos

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Das verallgemeinerte Skalarprodukt im R² lautet

$\begin{eqnarray*} (\vec x|\vec y)=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix}^T\cdot \underbrace{\begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix}}_{\text{Metrik G}} \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist also die Matrix G, die man als Metrik bezeichnet. Im euklidischen Raum ist die Metrik offenbar die Einheitsmatrix und kann weggelassen werden. Die Metrik muss symmetrisch sein, also $\begin{eqnarray*} g_{ij}=g_{ji} \end{eqnarray*}$ , weil das Skalarprodukt beim Vertauschen der Faktoren das gleiche Ergebnis liefern soll, also $\begin{eqnarray*} (\vec x|\vec y)=(\vec y|\vec x) \end{eqnarray*}$ . Das Bestimmen der 3 Zahlen $\begin{eqnarray*} g_{11}, g_{22}, g_{12}=g_{21} \end{eqnarray*}$ führt auf ein lineares Gleichungssystem. Versuche mal, das Gleichungssystem aufzustellen und zu lösen.
----------------------------------------------------------------------------------------------
Ich gebe das Ergebnis mal an.

$\begin{eqnarray*} G=\tfrac{1}{9}\begin{pmatrix} 5 & -4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

24.02.2015, 12:28

WirJun

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RE: Skalaprodukt auf R²

Zitat:

Original von sixty-four

Wie, für das erste Skalarodukt. Du hast doch nur ein Skalarprodukt das du berechnen sollst. Was sind das für Vektoren, die du berechnet hast? Du musst doch Skalare bestimmen und keine Vektoren.
Die Frage ist: Welche Linearkombination der Basisvektoren ergeben die beiden Vektoren deren Skalarprodukt du berechnen sollst.

Mit anderen Worten: Wie müssen $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ gewählt werden, damit

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda_2 \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist. Entsprechendes brauchst du für den zweiten Operanden deines Skalarprodukts.

Ja stimmt das war falsch von mir, also

Für das erste Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1\text{ und } \lambda_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Für das zweite Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -1\text{ und } \lambda_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Und wenn man die Ergebnisse nur alle zusammenzählt, kommt man auf das gewünschte Ergebnis?

24.02.2015, 13:43

sixty-four

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RE: Skalaprodukt auf R²

Zitat:

Original von WirJun

Ja stimmt das war falsch von mir, also

Für das erste Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = 1\text{ und } \lambda_2 = 1 \end{eqnarray*}$

Für das zweite Skalarprodukt:

$\begin{eqnarray*} \lambda_1 = -1\text{ und } \lambda_2 = 2 \end{eqnarray*}$

Du meinst nicht für das erste und zweite Skalarprodukt, sondern für den ersten und zweiten Vektor. Richtig gerechnet hast du aber. (Allerdings hast du im zweiten Fall $\begin{eqnarray*} \lambda_1 \text{ und } \lambda_2 \end{eqnarray*}$ vertauscht.)

Zitat:

Original von WirJun
Und wenn man die Ergebnisse nur alle zusammenzählt, kommt man auf das gewünschte Ergebnis?

Ich weiß jetzt nicht so genau, was du mit zusammenzählen meinst.
Wenn du deine beiden Basisvektoren mit $\begin{eqnarray*} \mathfrak{x_1} \text{ und } \mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$ bezeichnest, dann gilt jetzt also:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = 1 \cdot \mathfrak{x_1} + 1 \cdot \mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 3 \end{pmatrix} = 2 \cdot \mathfrak{x_1} - 1 \cdot \mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzt du die rechten Seiten um das Skalarprodukt auszurechen. Dabei berücksichtigst du, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{x_1} \text{ und } \mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis bilden. Du kennst also $\begin{eqnarray*} \left< \mathfrak{x_1},\mathfrak{x_2}\right> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left< \mathfrak{x_i},\mathfrak{x_i}\right> \end{eqnarray*}$ .

24.02.2015, 13:53

WirJun

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RE: Skalaprodukt auf R²

Zitat:

Original von sixty-four
Jetzt benutzt du die rechten Seiten um das Skalarprodukt auszurechen. Dabei berücksichtigst du, dass $\begin{eqnarray*} \mathfrak{x_1} \text{ und } \mathfrak{x_2} \end{eqnarray*}$ eine Orthonormalbasis bilden. Du kennst also $\begin{eqnarray*} \left< \mathfrak{x_1},\mathfrak{x_2}\right> \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \left< \mathfrak{x_i},\mathfrak{x_i}\right> \end{eqnarray*}$ .

Tut mir leid, aber wie soll das funktionieren?

24.02.2015, 14:35

sixty-four

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RE: Skalaprodukt auf R²
Du nutzt die Eigenschaften eines Skalarprodukts:

$\begin{eqnarray*} \left<x+y,z \right> = \left<x,z \right> +\left<y,z \right><br /> \left<x,y+z \right> = \left<x,y \right> +\left<x,z \right><br /> \left<\lambda x,\mu y \right> = \lambda \mu \left<x,y \right><br /> \end{eqnarray*}$

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