Ortskurve

25.02.2015, 14:59

Tante Emma

Ortskurve

Meine Frage:
Die Frage wurde schon in einem anderen Forum gestellt, aber leider nicht wirklich beantwortet und ich brauche dringend Hilfe.... unglücklich

ft(x)=x3?t?x

Meine Ideen:
Wenn ich da die Extrema bestimmte, bekomme ich HP und TP.
Wieso habe ich nur die Ortskurve 2x^3 und nicht noch eine weitere mit y= -2x^3? Ich bin gerade super am verzweifeln und komme überhaupt nicht weiter. Freue mich über jede HIlfe......

25.02.2015, 15:04

klarsoweit

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RE: ORtskurve

Zitat:

Original von Tante Emma
Meine Frage:
Die Frage wurde schon in einem anderen Forum gestellt, aber leider nicht wirklich beantwortet und ich brauche dringend Hilfe.... unglücklich

ft(x)=x3?t?x

Wenn du das dort auch so geschrieben hast, wundert mich das nicht, daß du keine Hilfe bekommen hast.

25.02.2015, 15:21

Tante Emma

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Ich habe das nicht in einem anderen Forum geschrieben, das aber so gefunden. Das ist auch genau meine Frage. Ich komme da einfach nicht weiter und leider konnte das in dem anderen Forum auch keiner erklären.
onlinemathe.de/forum/Ortskurve-bei-2-Extrempunkte

Dort geht es um $\begin{align*} f_t(x)=x^3 - t \cdot x \end{align*}$
Steffen

Wäre super, wenn vielleicht jemand helfen könnte

25.02.2015, 15:46

klarsoweit

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Extrema bekommst du nur für t > 0. Wie sehen denn die Koordinaten der Hochpunkte aus?

25.02.2015, 15:56

Tante Emma

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Wieso nur dafür? t ist aus R

TP (&#8730 traurig

0,5a)À - 0,25a^2) ; TP(-&#8730 traurig

0,5a)À - 0,25a^2)
^

Danke schonmal für die HIlfe

Ach ja und da wäre noch etwas. Bei Fallunterscheidungen schaue ich immer für a <0
a> 0 und für a = 0. Manche machen das aber nur für die ersten beiden Fälle. Was ist denn richtig?

25.02.2015, 16:04

Tante Emma

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Sorry, hat nicht ganz geklappt.

TP (Wurzel(0,5a); - 0,25a^2) ; TP(- Wurzel(0,5a)À - 0,25a^2)

25.02.2015, 16:09

klarsoweit

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Hm. Sind nicht die Extremstellen $\begin{eqnarray*} x_E = \pm \sqrt{\frac t 3} \end{eqnarray*}$ ?

25.02.2015, 16:26

Tante Emma

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stimmt....ohje, sorry hab mich vertan..... traurig

aber warum bekomme ich da nur eine ortskurve raus?

25.02.2015, 17:31

Bonheur

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Dein Tiefpunkt lautet:

$\begin{eqnarray*} H\left( -\sqrt{\frac t 3} \, \, \Big| \, \,\frac{2}{3} \cdot t \sqrt{\frac t 3}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du jetzt $\begin{eqnarray*} x=-\sqrt{\frac{t}{3}} \Longleftrightarrow t=3 \cdot x^{2} \end{eqnarray*}$ bestimmst.
Allerdings ist der x-Wert immer negativ, weshalb gilt: $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ . Du kannst es gerne ausprobieren, indem du Werte für t einsetzt: z.B.

$\begin{eqnarray*} t=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=-\sqrt{\frac{1}{3}} \end{eqnarray*}$

Und der Wert unter der Wurzel darf nicht negativ werden, weshalb $\begin{eqnarray*} t > 0 \end{eqnarray*}$ , deshalb erhältst du nur negative Werte für x. Und dieses hat Auswirkungen auf deine Ortskurve.
Setzen wir nun den Term für t für den y-Wert ein, erhalten wir:

$\begin{eqnarray*} y=\frac{2}{3} \cdot 3x^{2} \sqrt{\frac{3x^{2}}{3}}=\frac{2}{3} \cdot 3x^{2} \sqrt{x^2}=2x^{2} \cdot \sqrt{x^{2}}=2x^{2} \cdot |x| \end{eqnarray*}$

Und da wir davon ausgegangen, dass $\begin{eqnarray*} x \leq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt: $\begin{eqnarray*} y=2x^{2} \cdot (-x)=-2x^{3} \end{eqnarray*}$ .

Betrachte dies jetzt alles mit dem Tiefpunkt und wirst auf das selbe Ergebnis kommen.

Edit1: Wurzelzeichen vergessen, sry. unglücklich

25.02.2015, 17:53

Tante Emma

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oh man, tausend Dank. Ich glaub, jetzt hab ich es.
Das heißt also, Funktionenscharen mit mehreren Extrema, bei denen ich im Laufe der Bestimmung der Ortskurve die Wurzel ziehe, muss ich also immer überprüfen, was für mein x "erlaubt ist".
Das heißt, dein 1. Schritt erklärt eigentlich exakt meine Frage. Da x = -
dort steht, ich aber eine Wurzel rechts stehen habe (die nicht negativ werden kann), ist mein x immer negativ, bzw. in diesem Fall, für die Ortskurve dieser Extrema (heißt das dann, das ich theoretisch meine Definitionsbereich ändern muss?).

Ok und da ich das jetzt rausgefunden habe, kann ich bei dem letzten Schritt mit dem Betrag quasi entscheiden, ob da plus und minus oder nur eins von beiden richtig ist, oder?

Tausend tausend tausend Dank

25.02.2015, 17:56

Tante Emma

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Heißt das jetzt auch, dass für x < 0 meine Tiefpunkte auf der Ortskurve liegen und für x >0 die Hochpunkte? (Wenn ich das noch für den HP mit dem positiven x-Wert mache, dann müsste die Rechnung ja umgekehrt lauten und an würde sich bei dem Betrag für das positive x entscheiden). Bei beidem kommt y = -2x^3 raus

x <0 liegen dann die Tp,
x> 0 die HP, oder??

smile

super danke danke

25.02.2015, 18:05

Bonheur

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Ja, aber warum möchtest du den Definitionsbereich umändern ?

Übrigens: Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung.

25.02.2015, 18:16

Tante Emma

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Mh.
Ok, nicht umändern, aber ich kann doch nicht einfach sagen, dass mein x immer negativ ist.
Das ist es doch dann nur, wenn ich die Ortskurve der TP betrachte, oder? Also befinde ich mich im negativen Bereich der x-Achse, wenn ich die Ortskurve betrachte, auf der die TP liegen (sagt ja eigentlich auch schon der Punkt aus) und wenn ich dann in den positiven Bereich gehe, dann liegen auf der Ortskurve die HP?

Wo muss ich denn Äquivalenzumformungen betrachten?

Könntest du mir evtl. auch bei meinem anderen Problem helfen? Ich habe Fallunterscheidungen immer für a<0, a> 0 und a= 0 gemacht. In manchen Lösungen sehe ich aber nicht das mit dem a=0. Wieso (wenn a doch aus R ist)?

Ich habe auch oft Übungsaufgaben gemacht, in denen Extrema dann beispielsweise bei x= 0 und sagen wir mal x = a/2 lagen, wenn ich dann eine Fallunterscheidung mache, für x = a/2 und ich betrachte a=0, dann habe ich ja den Punkt bei x=0 raus, oder? Ich bin verwirrt.

25.02.2015, 18:25

Bonheur

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Eins nach dem anderen. Augenzwinkern

Der Definitionsbereich beschreibt bloß, wo die Funktion überall definiert ist.

$\begin{eqnarray*} f_t(x)=x^{3}-t\cdot x \end{eqnarray*}$ und hier ist der Definitionsbereich: $\begin{eqnarray*} D:\{x \in \mathbb{R}\} \end{eqnarray*}$ .

Die Funktion ist überall definiert!

Während der Definitionsbereich der Wurzelfunktion $\begin{eqnarray*} g(x)=\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ begrenzt ist und zwar: $\begin{eqnarray*} D:\{x \in \mathbb{R}|x \geq 0\} \end{eqnarray*}$ .

Des Weiteren behaupten wir nicht, dass der x-Wert überall negativ ist, sondern dass unsere Tiefpunkte im negativen Bereich liegen, aber das hat nichts mit dem Definitionsbereich zu tun.

25.02.2015, 18:36

Tante Emma

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Ach ja.... smile

Aber dann stimmt es doch, dass ich aufgrund dieser "Einschränkung" x< 0 dort ja dann auch meine TP alle im 2.Quadranten liegen. Meine HP entsprechend (weil ich x>0 betrachte und man das ja auch schon an den Koordinaten der HP sieht) im 4. Quadranten. Oder?

Vielen lieben Dank nochmal

25.02.2015, 18:49

Bonheur

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Es tut mir leid. Wir haben den Hochpunkt mit dem Tiefpunkt verwechselt.
Für die zweite Ableitung gilt:
$\begin{eqnarray*} f''_{t}(x)=6x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''\left(-\sqrt{\frac{t}{3}}\right)=6 \cdot \left(-\sqrt{\frac{t}{3}}\right)=-2\cdot \sqrt{3t}< 0 \end{eqnarray*}$ Somit haben wir ein Maximum.
$\begin{eqnarray*} f''\left(\sqrt{\frac{t}{3}}\right)=6 \cdot \left(\sqrt{\frac{t}{3}}\right)=2\cdot \sqrt{3t}> 0 \end{eqnarray*}$ Somit haben wir hier ein Minimum.

Somit gilt für Hochpunkt und Tiefpunkt:

$\begin{eqnarray*} H\left( -\sqrt{\frac t 3} \, \, \Big| \, \,\frac{2}{3} \cdot t \sqrt{\frac t 3}\right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T\left( \sqrt{\frac t 3} \, \, \Big| \, \,-\frac{2}{3} \cdot t \sqrt{\frac t 3}\right) \end{eqnarray*}$

Und um deine Frage zu beantworten, hilft dir diese Abbildung:

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