Multiplikativ Inverses

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loyloep Auf diesen Beitrag antworten »
Multiplikativ Inverses
Man berechne das multiplikativ Inverse von in . Wie viele Elemente hat der Körper?

Wie berechnet man das Inverse? Wie kann ich mir den Körper vorstellen bzw. wie sehen dessen Elemente aus?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

ist der Körper mit 3 Elementen. hat keine Nullstelle in , also ist dieses Polynom irreduzibel, also ist ein Körper. Er ist zunächst einmal ein 2-dimensionaler Vektorraum über , seine additive Gruppe hat 9 Elemente, seine multiplikative Gruppe hat 8 Elemente und ist zyklisch. Alle endlichen Körper mit 9 Elementen sind isomorph. Man kann ihn sich am besten vorstellen als mit . Diese Gleichung kann man benutzen um z.B. das Inverse von zu berechnen. Man schreibt statt , um nicht immer mit Polynomen operieren zu müssen, oder noch schlimmer mit Restklassen von Polynomen.
 
 
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Haben diese Objekt von der Form einen Name. Ich möchte gerne mehr erfahren, weiss aber nicht wonach ich googlen muss. Kennt Ihr gute Webseiten, wo mman mehr darüber nach lesen kann.

Wie genau berechnet man nun das multiplikativ Inverse?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Haben diese Objekt von der Form einen Name.

Das ist zunnächst einmal ein Faktorring (mach dich zu dem Begriff mal schlau, um dir die Konstruktion zu verdeutlichen). Der in diesem Fall eben sogar einen Körper bildet. Die Elemente in sind Restklassen.

Wenn man sonst nix weiß, kann man das Inverse auch durch Ausprobieren finden. Es gibt ja nicht viele Kandidaten, die in Frage kommen. Zur Not schreib dir mal alle Elemente auf. Hat man ruckzuck durchprobiert.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Die Konstruktion ist tatsächlich ein Faktorring des Polynomrings über einem endlichen Körper nach einem irreduziblen Ideal. Warum man sich das Leben so schwer machen muss, ist mir nicht klar, denn das ist nichts anderes als ein endlicher Körper. Siehe z.B. hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Endlicher_K%C3%B6rper

Tipp zur Inversenbildung: Berechne die Potenzen von . Weil die multiplikative Gruppe des Körpers zyklisch von der Ordnung 8 ist, muss spätestens die 8. Potenz gleich 1 sein.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

@Elvis:
Wie willst du denn einen endlichen Körper mit Nicht-Primzahl Mächtigkeit konstruieren, wenn nicht als Faktorring? (Mal ganz abgesehen das Faktorringe Standardobjekte in der Algebra sind)
Und meinst du hier mit sich das Leben schwer machen was anderes?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Nichts gegen die Konstruktion als Faktorring, doch wenn der Körper einmal da ist, lässt sich kinderleicht darin rechnen. Die Adjunktion einer Nullstelle ist m.E. einfacher zu handhaben. Bei den reellen Zahlen bemüht heute ja auch keiner mehr die Konstruktion durch Dedekindsche Schnitte oder Intervallschachtelungen, sondern man benutzt ganz selbstverständlich Dezimalzahlen.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
doch wenn der Körper einmal da ist

Und wie ist der Körper einfach da?
Wie rechnest du denn in z.B. in ?


ja, und das ist dann eigentlich die Konstruktion der reellen Zahlen als Vervollständigung von , d.h. als Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
doch wenn der Körper einmal da ist

Und wie ist der Körper einfach da?
Wie rechnest du denn in z.B. in ?

Zitat:
man benutzt ganz selbstverständlich Dezimalzahlen.

ja, und das ist dann eigentlich die Konstruktion der reellen Zahlen als Vervollständigung von , d.h. als Äquivalenzklassen von Folgen rationaler Zahlen.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

, und schon ist er da. smile
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
und schon ist er da

Zitat:
, und schon ist er da. smile

Und in wie fern ist das irgendwas anderes als

Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Überhaupt nicht, sag ich doch, ist isomorph, das habe ich in meinem ersten Beitrag schon gesagt. Erspart nur das Rechnen mit Polynomen und Restklassen, bzw. ersetzt es durch simple Rechenoperationen nach Körperaxiomen mit einem zusätzlichen Element.
Captain Kirk Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich dich also falsch verstanden.
Zitat:
Die Konstruktion ist tatsächlich ein Faktorring des Polynomrings über einem endlichen Körper nach einem irreduziblen Ideal. Warum man sich das Leben so schwer machen muss, ist mir nicht klar, denn das ist nichts anderes als ein endlicher Körper.

Ich lese das als: Nimm nicht diese Konstruktion.

Zitat:
Erspart nur das Rechnen mit Polynomen und Restklassen, bzw. ersetzt es durch simple Rechenoperationen nach Körperaxiomen mit einem zusätzlichen Element.

Man muss auch im Faktorring nicht mit Restklassen rechnen. Das vermeidet eigentlich auch jeder den ich kenne massivst.
Und deinen zweiten Rat befolgt man sinnvollerweise auch im Faktorring.
Was du vorschlägst ist im Endeffekt das benutzen der universellen Eigenschaft des Rings, und das ist (zumindest heutzutage) eigentlich das normale Vorgehen.

Faktorringe sind nichts böses.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich / fachlich und menschlich / kollegial voll einverstanden. Übrigens hat Leopold schon mehrmals dieselbe Herangehensweise propagiert wie ich (suche nach "endliche Körper", Benutzer "Leopold"). Wir glauben, dass beim Rechnen das Rechnen im Vordergrund stehen sollte und nicht die Konstruktion. In der Theorie steht naturgemäß die Vielfalt der Konstruktionen im Vordergrund und ermöglicht dann qua Isomorphie das Rechnen.

Hallo, loyloep, bist du noch da ?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Noch ein paar Tipps, wenn du ganz wenig rechnen möchtest. , weil wir in einem Körper rechnen. Nun erweitere mit und denke an die binomischen Formeln.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Wie man die multiplikativ INversen berchnet, habe ich nun herausgefunden. Kann mir bitte jemand noch sagen, wie man herausfindet, wieviele Elemente die Körper haben?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du mir sagst, wie das Inverse von 1+x heißt, sage ich dir, wie man berechnet, wieviele Elemente endliche Körper haben.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe als multiplikativ Inverses: 1/(x+1) = (x-1)/(x^2-1)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll das sein ? Dieses Element liegt nicht im Körper !
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich weiss, aber das ist das was ich raus habe.

Ich habe grechnet:

(x^2+1) unglücklich x+1) = (x-1) Rest 2

Also insgesamt: (x^2 + 1) = (x-1)(x+1) +2

Umstellen nach 1/(x+1) ergibt 1/(x+1)=(x-1)/(x^2-1)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Endliche Körper bestehen NICHT aus Brüchen von Polynomen. Das ist völlig sinnlos. Endliche Körper werden konstruiert als Faktorringe von Polynomringen mit einem über irreduziblen Polynom. Mir war von vornherein klar, dass du das noch nicht verstehst. Deshalb habe ich dir einen wesentlich einfacheren Weg gezeigt, auf dem man zu einem Verständnis dieser endlichen Körper kommen kann. Nimm eine Nullstelle des normierten erzeugenden Polynoms, also . Ist dann ist , und damit kann man rechnen.

Versuch es doch einfach mal über mit (und "vergiss" die Polynome). Wenn man genügend Erfahrung hat, schreibt man wieder x statt und rechnet genau so, aber das ist nicht ganz sauber und kann - wie man sieht - verwirrend sein. Eine korrekte aber etwas umständliche Art ist, statt zu benutzen, das bedeutet die Rechnung im Faktorring.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Das erzeugende normierte Polynom ist x + 1, oder?

Die Nullstelle von f(x) = x + 1 = 0 ist -1 = 21 in F_3.

Und dann, was bringt mir die Nullstelle?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wir reden die ganze Zeit über , also ist das erzeugende normierte irreduzible Polynom dieses Körpers , eine Nullstelle davon nennen wir , und es ist .

Die Frage war immer noch: Was ist das multiplikative Inverse von ?
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke ich habe meinen Rechenehler gefunden. Das INverse ist : -1/2 (x-1)
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Ich denke ich habe meinen Rechenehler gefunden. Das INverse ist : -1/2 (x-1)


Ich würde besser schreiben: , also ohne Brüche und ohne negative Zahlen.
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommt man von -1/2(x-1) auf (x+2)? Wie wandelt man Brüche in ganze Zahlen in F_3 um?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Du bist ganz nahe dran. Multipliziere die -1 in die Klammer (Distributivgesetz). Suche das zu 2 inverse Element in , das ersetzt 1/2, noch mal distributiv, und die Welt ist in Ordnung.
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Wie kommt man von -1/2(x-1) auf (x+2)? Wie wandelt man Brüche in ganze Zahlen in F_3 um?


In ist 2*2=1 und in ist , da . Ich hab das mal alles in Restklassen modulo geschrieben, damit es deutlicher wird.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, da wir jetzt die Lösung des Problems gefunden haben, verrate ich, aus welchen Elementen der Körper besteht. Ganz zu Anfang habe ich gesagt, dass ein 2-dimensionaler Vektorraum über ist. Eine Basis ist , die 9 Element sind (denke stets statt !)
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Wie findet man die 9 Elemente in F_3/(x^2+1)?
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von loyloep
Wie findet man die 9 Elemente in F_3/(x^2+1)?


Du meinst wohl eher . Die Elemente sind die Restklassen modulo . Repäsentanten sind alle Polynome mit Grad kleiner als 2. Das sind gerade die 9 von Elvis genannten.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

liegen im Grundkörper . Im Restklassenring , der hier ein Restklassenkörper ist, findet man die Nullstelle des Polynoms .

Der Sinn und Zweck der Konstruktion von Leopold Kronecker besteht genau darin, eine Nullstelle des irreduziblen Polynoms zu erzwingen. Interessant ist auch, dass die endlichen Körper als Zerfällungskörper irreduzibler Polynome galoissch (normal und separabel) sind, weshalb sie im englischen als Galoisfield bezeichnet werden.
Zusammen mit enthalten sie alle Nullstellen des (o.B.d.A. normierten) Polynoms .
loyloep Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Eure Ausführungen. Ihr habt beim Verständnis der Problematik sehr geholfen.
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