Binomische Formeln und Matrizen

26.02.2015, 21:14

Rivago

Binomische Formeln und Matrizen

Berechnen Sie die folgenden Produkte auf zwei verschiedene Arten:

a) $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}})^2 = (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}) \cdot (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}) \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix}1 & 4 & -1 \\2 & 0 & 3\\ 1 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}2 & 1 & 1 \\1 & 2 & -1\\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gelten die Binomischen Formeln?

Für $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}})^2 \end{eqnarray*}$ hab ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}24 & 25 & 10 \\17 & 25 & 6\\ 13 & 14 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung stimmt auch mit der Musterlösung überein.

Für $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}) \cdot (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}) \end{eqnarray*}$ hab ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}24 & 22 & 10 \\17 & 25 & 6\\ 13 & 14 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier steht in der Lösung allerdings $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}25 & 23 & 5 \\17 & 28 & 4\\ 15 & 20 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Was ist denn richtig? Ich weiß echt nicht wo ich mich verrechnet haben soll verwirrt

26.02.2015, 21:30

10001000Nick1

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Wenn man ausmultipliziert, erhält man $\begin{eqnarray*} (A+B)^2=(A+B)\cdot (A+B)=A^2+AB+BA+B^2 \end{eqnarray*}$ . Da die Matrizenmultiplikation im Allgemeinen nicht kommutativ ist, kann man das nicht zusammenfassen zu $\begin{eqnarray*} A^2+2AB+B^2 \end{eqnarray*}$ . Die binomischen Formeln gelten also nicht.

Ich denke, mit den "zwei verschiedenen Arten" ist folgendes gemeint: Du kannst die Matrix $\begin{eqnarray*} A+B \end{eqnarray*}$ berechnen, und diese dann quadrieren. Und du kannst die 4 Summanden aus der obigen Gleichung berechnen und dann addieren. Dann sollte bei beiden Möglichkeiten das gleiche rauskommen.

26.02.2015, 21:35

Rivago

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RE: Binomische Formeln und Matrizen
Ja genau, so hab ich es auch gemacht.

Für $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}}^2 = \begin{pmatrix}8 & 2 & 10 \\5 & 14 & 1\\ 6 & 6 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} \cdot \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}6 & 5 & -3 \\4 & 5 & 2\\ 4 & 6 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix}5 & 10 & 2 \\4 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}}^2 = \begin{pmatrix}5 & 5 & 1 \\4 & 4 & -1\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und wenn ich das alles addiere, komme ich zu dem, was ich in meinem Eingangspost geschrieben hab, also $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}24 & 22 & 10 \\17 & 25 & 6\\ 13 & 14 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Hier steht in der Lösung allerdings $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}25 & 23 & 5 \\17 & 28 & 4\\ 15 & 20 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

verwirrt

Edit: Hab meine 3 Fehler gefunden Hammer

Da kann man sicher aber echt leicht verrechnen unglücklich

26.02.2015, 21:50

10001000Nick1

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Also ist jetzt alles klar? Ich hatte auch schon ein paar Fehler gefunden, aber dann brauche ich die ja jetzt nicht mehr zu posten. Augenzwinkern

Eins muss ich aber nochmal fragen:

Zitat:

Original von Rivago
Für $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}})^2 \end{eqnarray*}$ hab ich als Ergebnis $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}24 & 25 & 10 \\17 & 25 & 6\\ 13 & 14 & 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Diese Lösung stimmt auch mit der Musterlösung überein.

Zitat:

Original von Rivago
Hier steht in der Lösung allerdings $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}25 & 23 & 5 \\17 & 28 & 4\\ 15 & 20 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wieso gibt es zwei unterschiedliche Lösungen? verwirrt

26.02.2015, 22:04

Rivago

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Ja, es ist jetzt alles klar smile

Das hab ich anfangs auch nicht verstanden, aber ich weiß jetzt wie es gemeint ist.

Ich soll zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}})^2 \neq \underline{\underline{A}}^2 + 2\underline{\underline{A}}\underline{\underline{B}} + \underline{\underline{B}}^2 \end{eqnarray*}$ , sondern das gilt $\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}})^2 = \underline{\underline{A}}^2 + \underline{\underline{A}} \cdot \underline{\underline{B}} + \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}^2 \end{eqnarray*}$

Und bei $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}}^2 + 2\underline{\underline{A}}\underline{\underline{B}} + \underline{\underline{B}}^2 \end{eqnarray*}$ kommt als Ergebnis $\begin{eqnarray*} = \begin{pmatrix}25 & 23 & 5 \\17 & 28 & 4\\ 15 & 20 & 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wink

26.02.2015, 22:22

Rivago

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Noch kurz eine andere Frage..

$\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} - \underline{\underline{B}})^2 = \underline{\underline{A}}^2 - \underline{\underline{A}} \cdot \underline{\underline{B}} - \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}^2 \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig ausmultipliziert? Möchte es aus zeitgründen gerande nicht überprüfen..

26.02.2015, 23:43

URL

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Ist richtig.
Was willst du da denn noch prüfen verwirrt

26.02.2015, 23:46

Rivago

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Ich hätte es ja ausrechnen können und dann mit dem anderen Ergebnis vergleichen können. Hätte ja das selbe rauskommen müssen.

Wenn nicht, hätte ich mich entweder verrechnet oder falsch ausmultipliziert Augenzwinkern

Aber wenn es so stimmt ist ja alles gut Wink

27.02.2015, 12:43

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Rivago
$\begin{eqnarray*} (\underline{\underline{A}} - \underline{\underline{B}})^2 = \underline{\underline{A}}^2 - \underline{\underline{A}} \cdot \underline{\underline{B}} - \underline{\underline{B}} \cdot \underline{\underline{A}} + \underline{\underline{B}}^2 \end{eqnarray*}$

Hab ich das richtig ausmultipliziert? Möchte es aus zeitgründen gerande nicht überprüfen..

Das ist eine algebarische Gleichung, da muss man nichts "rechnen". verwirrt

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