Symmetrische Matrizen

26.02.2015, 23:30

Rivago

Symmetrische Matrizen

Zeigen Sie: Für jede beliebige, invertierbare (2 x 2) - Matrix $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} = \begin{pmatrix}a & b \\c & d \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist die Matrix $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \underline{\underline{A}}^T - (ad - bc) \cdot \underline{\underline{A}}^{-1} \end{eqnarray*}$ eine symmetrische Matrix.

Wenn ich das mal aufschreib:

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}a & c \\b & d \end{pmatrix} - (ad - bc) \cdot \frac{1}{ad - bc} \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Und nun?

Ich soll ja zeigen, dass diese Gleichung das selbe ist wie $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}}^T = \begin{pmatrix}1 & 0 \\b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie kann ich das umformen? verwirrt

26.02.2015, 23:40

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RE: Symmetrische Matrizen
Woher kommt denn $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}}^T = \begin{pmatrix}1 & 0 \\b & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ?

26.02.2015, 23:49

Rivago

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Das weiß ich gerade auch nicht mehr, wie ich darauf gekommen bin Big Laugh

Ok, also ist das anscheinend eh falsch. Aber meine Gleichung müsste stimmen. Wie geht es da jetzt weiter?

26.02.2015, 23:57

Rivago

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RE: Symmetrische Matrizen
Aaah, ich seh gerade, dass sich hier (ad - bc) rauskürzt.

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}a & c \\b & d \end{pmatrix} - (ad - bc) \cdot \frac{1}{ad - bc} \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Somit steht dann da

$\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \begin{pmatrix}a & c \\b & d \end{pmatrix} - 1 \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\-c & a \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a - d & c + b \\c + b & d - a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wie geht es nun weiter?

27.02.2015, 08:13

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RE: Symmetrische Matrizen
Du schaust nochmal, was eigentlich zu zeigen ist smile

27.02.2015, 09:08

Ehos

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@Rivago

Deine Matrix B ist in der Tat symmetrisch:

$\begin{eqnarray*} B=\begin{pmatrix} a-d & b+c \\ c+b & d-a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

28.02.2015, 10:38

Rivago

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RE: Symmetrische Matrizen

Zitat:

Original von URL
Du schaust nochmal, was eigentlich zu zeigen ist smile

Zu zeigen war, dass $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{A}} = \underline{\underline{B}}^T \end{eqnarray*}$ ist, oder?

03.03.2015, 18:47

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RE: Symmetrische Matrizen
Nein.
Zu zeigen war $\begin{eqnarray*} \underline{\underline{B}} = \underline{\underline{B}}^T \end{eqnarray*}$
und ein Blick auf die Matrix B zeigt, dass das erfüllt ist.

04.03.2015, 21:07

Rivago

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Und woran seh ich das? Ich erkenn es nicht unglücklich