Basis bei Polynomen

28.02.2015, 11:48

goldfisch91

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Basis bei Polynomen

Gegeben sei P4 (Die Menge aller Polynome von Grade <= 4).

U1 sei Unterraum von P4 (nicht zu beweisen) und definiert durch:

$\begin{eqnarray*} U_{1} = ( p_{n} \in P_{4} | p_{n}(1) = p_{n}'(1) = p_{n}''(1) = 0 ) \end{eqnarray*}$

Man gebe eine Basis für U1 an.

Ich hab noch nie so eine Aufgabe gesehen. Das erste was ich mir gedacht habe, war dass ich Polynome ausschreibe

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)' = (x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)'' = 0

Aber jetzt wüsste ich schon nicht mehr was ich mit der 1 machen soll. Zunächst könnte ich erstmal ableiten:

x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = 4x^3 + 3x^2 + 2x + 1 = 12x^2 + 6x + 2 = 0

ich habe aber gar keine Ahnung was das überhaupt mit der Basis zu tun hat unglücklich

unglücklich

Kann mir jemand irgendwie nen Tipp geben?

28.02.2015, 11:56

IfindU

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RE: Basis bei Polynomen
Die Voraussetzungen sind äquvialent dazu, dass 1 eine dreifache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p_n \end{eqnarray*}$ ist. D.h. $\begin{eqnarray*} p_n(x) = (x - 1)^3 \cdot q(x) \end{eqnarray*}$ , wobei q (a priori) ein allgemeines Polynom ist. Überlege dir welchen Grad q haben muss, dann wie q aussehen muss und damit wie du p_n schreiben kannst (ausmultiplizieren).

28.02.2015, 12:08

goldfisch91

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Ich habe ehrlich gesagt keine Ahnung. Das ist aus meiner linearen Algebra Vorlesung und da haben wir sowas nicht gemacht unglücklich

unglücklich

EDIT: tut mir leid, aber ich sehe da keinen Zusammenhang zu meiner Linearen Algebra Vorlesung. Ich bin etwas verzweifelt weil der Professor immer mit so Aufgaben kommt, wo es nicht ausreicht alles aus der Vorlesung zu wissen

28.02.2015, 12:11

IfindU

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Du wirst wenigstens präzisieren müssen, was dir unklar ist.

28.02.2015, 12:13

goldfisch91

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Ich habe erstmal ein Problem damit zu verstehen was Polynome überhaupt mit Vektorräumen zu tun haben, da ich ja die Basis da irgendwie finden will. Zweitens habe ich ein Problem damit das Ziel zu identifizieren. Was soll ich mit dem pn(x) anfangen? Worauf soll ich hinarbeiten. Ich sehe da keinen Zusammenhang, sorry.

28.02.2015, 12:19

IfindU

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Siehst du - mit dem Satz kann ich zumal viel mehr anfangen.

Man definiert
$\begin{eqnarray*} P_4 = \{ p \text{ ist ein Polynom von höchstens Grad 4} \} = \{ p \text{ s.d. } p(x) = ax^4 + bx^3 + c x^2 + d x + e \text{ für } a,b,c,d,e \in \mathbb R \} \end{eqnarray*}$ .

Das ist ein Vektorraum in p. D.h. mehr oder weniger, dass die Addition von Polynomen von höchstens Grad 4 wieder ein Polynom von höchstens Grad 4 und skalare Vielfache von Polynomen von höchstens Grad 4 wieder Polynome von höchstens Grad 4 sind.

Die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \{ 1, x, x^2, x^3, x^4 \} \end{eqnarray*}$ , da du alle Polynome aus Linearkombinationen daraus eindeutig schreiben kannst.

Nun nimmst du einen echten Teilraum von $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} \{ 1, x, x^2, x^3, x^4 \} \end{eqnarray*}$ ist nicht länger eine Basis -- du kannst damit nämliche Elemente konstruieren, die nicht in U_1 liegen. Das Ziel ist also eine linear unabhängige Menge zu finden, s.d. man alle Elemente aus U_1 (und nur aus U_1) eindeutig darstellen kann.

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28.02.2015, 12:38

goldfisch91

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Das was ich in meinem ersten Beitrag geschrieben habe bezieht sich doch darauf oder? Kann man das nicht so ausschreiben und dann "gucken" für welche x die Gleichung 0 wird? Tut mir leid, ich versteh nur Bahnhof

28.02.2015, 12:55

IfindU

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Das Problem ist, dass du kein allgemeines Element genommen hast. Die brutale Methode wäre
$\begin{eqnarray*} p(x) = ax^4 + bx^3 + c x^2 + dx + e \end{eqnarray*}$ zu nehmen, und dann ein Gleichungssystem mit
$\begin{eqnarray*} p(1) = p'(1) = p''(1) = 0 \end{eqnarray*}$ zu nehmen und dann Relationen zwischen a,b,c,d,e zu finden.

Deutlich angenehmer wird es, wenn man weiss (oder zeigst), dass auch $\begin{eqnarray*} \{ 1, (x - 1),(x - 1)^2, (x - 1)^3, (x - 1)^4 \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von P_4 ist.

Dann ist nämlich $\begin{eqnarray*} p(x) = f (x - 1)^4 + g (x - 1)^3 + h (x - 1)^2 + i (x - 1) + j \end{eqnarray*}$ . Ein Gleichungssystem mit den Paramtern ist dann deutlich schöner.

Der andere Ansatz (von meinem ersten Post) sollte der schnellste sein, der allerdings auch am meisten Einsicht benötigt.

28.02.2015, 13:52

goldfisch91

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Könntest du die "brutale" Methode weiter ausführen? Ich hab jetzt ein LGS der Ableitungen = 0. Aber dann hat man ja 4 Unbekannte und 3 Gleichungen, oder soll man das gar nicht so machen?

28.02.2015, 13:58

IfindU

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Es sind 5 Variablen, und 3 Gleichungen. Das stimmt soweit. Natürlich gibt es dafür keine eindeutige Lösung, und das ist auch das was man erwartet, denn der Unterraum enthält unendlich viele Elemente. Was man sucht sind Beziehungen zwischen a,b,c,d,e s.d. man das Polynom durch "weniger" Parameter beschreiben kann.

So folgt z.B. aus $\begin{eqnarray*} p(1) = a + b + c + d + e = 0 \end{eqnarray*}$ , dass $\begin{eqnarray*} a = - b - c- d - e \end{eqnarray*}$ und damit alle Polynome mit 1 als Nullstelle von der Form
$\begin{eqnarray*} p(x) = (-b-c-d-e) x^4 + b x^3 + cx^2 + dx + e \end{eqnarray*}$ sind. Insgesamt kannst du dann zeigen, dass ein allgemeines Polynom in U_1 durch 2 Parameter ("5 Variablen - 3 Gleichungen = 2 Parameter") beschrieben werden kann.

Daraus gewinnt man dann eine Basis.

28.02.2015, 14:45

goldfisch91

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Warum hast du jetzt die x^4 etc weggelassen?

28.02.2015, 14:51

IfindU

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Meinst du bei p(1)? p(1) heisst ich setzte alle x auf 1. Und damit ausführlich
$\begin{eqnarray*} a \cdot 1^4 + b \cdot 1^3 + c \cdot 1^2 + d \cdot 1 + e = a + b + c + d + e \end{eqnarray*}$ .

28.02.2015, 14:57

goldfisch91

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Oh Gott, klar. Big Laugh

Big Laugh

tut mir leid. Ich glaube ich kann das jetzt lösen. Ich schreib die Lösung hier gleich rein, bin eben essen smile

smile

28.02.2015, 17:38

goldfisch91

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Wie muss ich so ein LGS denn lösen? Ich hab zwar schon oft LGSs gelöst, aber ich bin mir grad nicht 100%ig sicher.

Ich hab jetzt folgendes raus

aus dem LGS a + b+ c + d + e = 0
a + b + c + d = 0
a + b + c = 0

habe ich:

e = 0
d = 0
c = -b

ich denke mal dass das falsch ist, oder?

28.02.2015, 17:39

IfindU

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Du hast falsch abgeleitet. Denk dran, dass $\begin{eqnarray*} (x^n)' \neq x^{n-1} \end{eqnarray*}$ im Normalfall.

28.02.2015, 17:52

goldfisch91

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ah, klar. jetzt hab ich:

a = -b-c-d-e
b = -2c -3d -4e
c = -6a -3b

richtig?

28.02.2015, 17:59

IfindU

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du meintest bei b = .. -4a und nicht 4e. Das Problem ist nun dass a von b und c abhängt, b von c und a, und dann noch c von a und b. D.h. du musst du homogone System lösen.

Genau hier ist der zweite Ansatz deutlich besser.

28.02.2015, 18:05

goldfisch91

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aber ich hab das schon richtig verstanden dass man dann 3 variablen hat die sich aus "anderen" zusammensetzen. also a, b und c setzen sich dann aus d und e zusammen, stimmts?

28.02.2015, 18:15

goldfisch91

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achso jetzt sehe ich warum ich da was anderes stehen habe. ich hab da schon eine gleichung in dieandere eingesetzt. jetzt habe ich:

a = -b -c -d -e
3b = -4a -2c -d
c = -6a - 3b

was muss ich denn als nächstes machen? Ich müsste doch jetzt versuchen so viele variablen wie möglich zu "streichen"? also dadurch dass ich die gleichungen immer einsetze, oder? also so dass ich am ende drei gleichungen habe.

28.02.2015, 18:17

IfindU

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Oder jeweils 2 anderen Variablen. Aber so willst du am Ende a,b,c die nur noch von d und e abhängen.

28.02.2015, 18:40

goldfisch91

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Wie kommst du denn auf 2? Bzw mal anders gefragt: Ich sehe zwar jetzt dass wir das irgendwie "minimal" schreiben müssen, der Zusammenhang zu Vektorräumen ist mir aber noch nicht klar (bzw zur Basis). ich weiß ja eigentlich gar nicht wie ich das LGS lösen soll um ehrlich zu sein, weil ich im Prinzip nicht mal das Ziel kenne.

28.02.2015, 19:19

IfindU

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Am Ende kannst du p schreiben als $\begin{eqnarray*} p(x) = d \cdot q_1 + e \cdot q_2 \end{eqnarray*}$ . Die Form bekommst du sobald du a,b,c durch d,e ausgedrückt hast und d und e ausklammert hast.

Damit ist dann q_1 und q_2 eine Basis deines 2 dimensionalen Unterraums (vorausgesetzt die beiden Polynome sind linear unabhängig).

Und zum Start:
Du kannst c der dritten Gleichung einfach in Gleichung 1 und 2 einsetzen. Danach hast du 2 Gleichungen mit 4 Variablen. Dann kannst z.B. die zweite Gleichung nach b umstellen, und kannst das b in a einsetzen. Dann hast du dein a. Damit bekommst du dann b und damit dann c.

28.02.2015, 19:38

goldfisch91

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Was ist denn q_1 und q_2 ?

28.02.2015, 19:44

IfindU

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Das sind Polynome von höchstens Grad 4. Die bekommt man durch die Rechnung sobald man a,b,c hat und in p eingesetzt hat.

28.02.2015, 19:46

goldfisch91

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Moment dass muss ich mal eben aufs Papier schreiben. Wenn ich a,b,c in p einsetze, habe ich dann nicht nur ein Polynom?

28.02.2015, 19:50

IfindU

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Doch. Aber eins hat Vorfaktor d und eins mit Vorfaktor e.

28.02.2015, 20:26

goldfisch91

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irgendwie hab ich probleme das LGS zu lösen. ist das normal dass das so komplex wird?

28.02.2015, 20:33

IfindU

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Es wird sicher nicht schön. Dafür habe ich dir ja den anderen Ansatz geliefert -- dort ist das Gleichungssystem extrem einfach.

28.02.2015, 20:40

goldfisch91

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ja, wollte erstmal die "stumpfe" lösung verstehen
mein LGS sieht jetzt so aus:

a = -4/5 d + 17/5 e
b = 5 d + 8 e
c = -3 d - 18/5 e

so jetzt beschäftige ich mich mal mit der eleganteren lösung Big Laugh

Big Laugh

noch zum schluss: ich müsste jetzt einfach ein Polynom P_4 nehmen und das da dann einsetzen, ne? Und was dann?

28.02.2015, 20:43

IfindU

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Ich habe es nicht nachgerechnet, aber es kann sein. Und nicht "irgendein" Polynom, sondern $\begin{eqnarray*} p(x) = ax^4 + bx^3 + c x^2 + dx + e \end{eqnarray*}$ .

Und dann sammel alle Terme mit d und alle mit e, und klammere die aus. Dadurch bekommst du q_1 und q_2.

28.02.2015, 21:13

goldfisch91

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So, danke erstmal für deine Hilfe. Ich bin erstmal offline. Ich versuch das dann mal morgen komplett zu lösen. Einmal so und einmal mit deiner vorgeschlagenen Lösung. Vielen vielen dank! smile

smile

Freude

28.02.2015, 21:22

IfindU

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Viel Erfolg Wink

Wink

01.03.2015, 11:49

goldfisch91

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So da bin ich wieder. Ich habe mir jetzt deine erste Herangehensweise angeschaut. Ersteinmal: wie bist du darauf gekommen? Du hast ja quasi gesagt dass das dann 0 wäre wenn man anstatt x überall (x-1) hat. Das kann ich noch nachvollziehen. Aber jetzt hast du gesagt, dass man beweisen muss dass das eine Basis ist. Sieht man das denn schon vorher? Die Beweisführung ob eine Teilmenge eines Raum eine Basis ist habe ich immer nur bei "normalen" Vektoren gemacht. Wie muss ich das denn hier beweisen?

Meine Idee: a(x-1)^4 + b(x-1)^3 + c(x-1)^2 + d(x-1) + e = ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e

und dann irgendwie umformen? Hammer

Hammer

01.03.2015, 12:06

IfindU

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Man kann recht leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{ (1-x)^4,(1-x)^3,(1-x)^2,(1-x), 1\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. D.h. aus [
$\begin{eqnarray*} x\mapsto a (1-x)^4 + b(1-x)^3 + c (1-x)^2 + d(1-x) + e = 0 \end{eqnarray*}$ folgt bereits $\begin{eqnarray*} a = b = c = d = e = 0 \end{eqnarray*}$ . Dafür benutzt man, dass ein Polynom nur dann identisch 0 ist, falls alle Koeffizienten 0 sind. Durch ausmultiplizieren sieht man das dann.

Offenbar ist $\begin{eqnarray*} P_4 \end{eqnarray*}$ ein 5-dimensionaler Vektorraum, also ist jede 5 elementige, linear unabhängige Menge eine Basis und man hat es gezeigt.

Du kannst deinen Ansatz nehmen, aber du musst mehr Variablen einführen:
$\begin{eqnarray*} a(x-1)^4 + b(x-1)^3 + c(x-1)^2 + d(x-1) + e = fx^4 + gx^3 + hx^2 + ix + j \end{eqnarray*}$ .

Dann müsstest du zeigen, dass es für alle $\begin{eqnarray*} f,g,h,i,j \end{eqnarray*}$ eindeutige $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ existieren, s.d. die Gleichheit für alle x gilt.

Im Prinzip die gleiche Rechnung wie oben für die lineare Unabhängigkeit, da man Koeffizientenvergleich betreibt.

01.03.2015, 12:45

goldfisch91

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Zitat:

Man kann recht leicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \{ (1-x)^4,(1-x)^3,(1-x)^2,(1-x), 1\} \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind. D.h. aus [ $\begin{eqnarray*} x\mapsto a (1-x)^4 + b(1-x)^3 + c (1-x)^2 + d(1-x) + e = 0 \end{eqnarray*}$ folgt bereits $\begin{eqnarray*} a = b = c = d = e = 0 \end{eqnarray*}$ . Dafür benutzt man, dass ein Polynom nur dann identisch 0 ist, falls alle Koeffizienten 0 sind. Durch ausmultiplizieren sieht man das dann.

Aber das muss ich dann schon für die Ableitungen auch zeigen oder? Du hast das ja jetzt nur für pn gezeigt nicht für die erste und zweite Ableitung.

EDIT: Also ich muss doch schon ein LGS haben oder? Mit den drei Gleichungen und dann auf linearer Unabhängigkeit untersuchen, ne?

01.03.2015, 12:52

IfindU

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Wir starten ja mit einem allgemeinen Element aus p_4. Dann guckt man sich die Ableitungen an und guckt dann wie Bedingungen sich auf die Koeffizienten auswirkt.

01.03.2015, 13:39

goldfisch91

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Also ich hab das jetzt mal aufgeschrieben. Wir haben uns am Anfang angeschaut, wie die Gleichung pn(1) = pn'(1) = pn''(1) = 0 erfüllt werden kann, und sind dann darauf gekommen, dass das mit { (x-1)^4, (x-1)^3, (x-1)^2, (x-1), 1} erfüllt werden kann (ohne das jetzt erstmal zu beweisen). Dann aber müssen wir noch beweisen, dass diese Menge auch eine Basis ist. Wir haben dann p_4 genommen und gezeigt dass die Koeffizienten nur 0 sein können und somit p_4 linear unabhängig ist. Da die Dimension von P_4 5 ist und die Anzahl der Elemente der Menge auch 5 ist, muss das dann auch eine Basis sein (bzw ein EZS). Soweit so gut. Aber was ist jetzt mit den Ableitungen? Muss ich das selbe jetzt auch dafür beweisen? Ich müsste doch jetzt nachdem ich bewiesen habe dass das für pn(1) gilt , dass das auch für die erste und zweite Ableitung gilt. Also nach dem selben Schema, oder?

01.03.2015, 14:26

IfindU

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Die Basis $\begin{eqnarray*} \{ (x-1)^4, (x-1)^3, (x-1)^2, (x-1), 1\} \end{eqnarray*}$ hat erst einmal nichts mit U oder irgendwelchen Ableitungen zu tun. Es ist eine Basis aller Polynome von höchstens Grad 4!

Als nächstes wollen wir gucken, welche Polynome von höchstens Grad 4 auch die Nullstellen Bedingung an die Funktion selbst und deren Ableitungen, an der Stelle 1 erfüllen.

Dafür nehmen wir uns ein solches generisches Polynom, dargestellt in z.B. der oberen Basis, und schauen an wie es sich verhält. D.h.
$\begin{eqnarray*} p(x) = a (1-x)^4 + b(1-x)^3 + c (1-x)^2 + d(1-x) + e \end{eqnarray*}$ .

Dann bekommen wir jetzt Gleichungen, wenn wir x = 1 setzen bzw. erst Ableitungen bilden und es dann setzen. Hier sieht man jetzt warum die Basis des Polynomraums für diese Aufgabe geschickt gewählt ist (gibt unendlich viele andere Basen).
So ist z.B.
$\begin{eqnarray*} p(1) = e \overset ! = 0 \end{eqnarray*}$ .
Anstatt wie vorher $\begin{eqnarray*} a + b + c + d + e = 0 \end{eqnarray*}$ zu erhalten, erhalten wir die triviale Gleichung $\begin{eqnarray*} e = 0 \end{eqnarray*}$ .

D.h. eine Basis nur dafür, dass p in 1 verschwindet (ohne Ableitungen) wäre $\begin{eqnarray*} \{ (x-1)^4, (x-1)^3, (x-1)^2, (x-1)\} \end{eqnarray*}$ .
Die Bedingungen an die Ableitungen verkleinern die Basis auch noch (d.h. bei der Wahl ist U ein Teilraum, der dadurch entsteht die Basis kleiner zu machen, als sich erst aufwändig eine neue zusammen zu kombinieren).

01.03.2015, 15:53

goldfisch91

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OK. Aber ist das dann überhaupt noch eine Basis? Eine Basis für U muss doch mindestens 5 Elemente haben, oder?

01.03.2015, 16:01

IfindU

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Nein. U ist eine echte Teilmenge von P_4, was Dimension 5 hat. Damit hat U eine kleinere Dimension, und damit weniger Basiselemente.

Es stellt sich raus, dass U nur zweidimensional ist.

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