6 Gleichungen mit 6 Unbekannten

28.02.2015, 15:46

Rivago

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6 Gleichungen mit 6 Unbekannten

Wink

Ich hab hier 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten. Nun könnte man das durch umstellen und in andere Gleichungen einsetzen lösen, aber da hab ich Probleme dabei. Weiß nie so recht, wo ich nun einsetzen muss, damit ich zum Ziel komm.

$\begin{eqnarray*} \sum F_{x1} = 0 = F_{Bx} - 8 + F_{Cx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum F_{y1} = 0 = -F_{Cy} + F_{By} - 4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum M_B = 0 = 8 \cdot 1,5 + 4 \cdot 0,5 + F_{Cy} \cdot 1,3 - F_{Cx} \cdot 3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum F_{x2} = 0 = F_{Ax} - F_{Cx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum F_{y2} = 0 = F_{Ay} - 16 + F_{Cy} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sum M_B = 0 = -16 \cdot 1 + F_{Cx} \cdot 2 + F_{Cy} \cdot 1 \end{eqnarray*}$

Wie fängt man da nun an?

Oder geht es auch einfacher und schneller, als mit der Einsetzmethode?

Edit: Funktioniert es mit Gauß? verwirrt

verwirrt

28.02.2015, 16:45

Dopap

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so etwas sollte man mit Gauss in einer Matrix lösen, sonst verliert man die Übersicht.

und : 8*1.5 + 4*0.5 in einer Gleichung schreiben macht es auch nicht einfacher.

28.02.2015, 17:08

Rivago

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Okay.. wie sieht dann aber die Matrix aus? Sind das 2 verschiedene Matrizen?

$\begin{eqnarray*} \sum M_B = 0 = 14 + F_{Cy} \cdot 1,3 - F_{Cx} \cdot 3 \end{eqnarray*}$

28.02.2015, 19:31

Dopap

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RE: 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc|c}bx & cx & cy & by & ax & ay & \\1&1&0&0&0& 0&8\\0 & 0 & -1 &1&0&0& 4\\0 & -3 & 1.3&0&0&0 & -14 \\0 & -1 & 0&0&1&0 & 0\\0 & 0 & 1&0&0&1& 16\\0 & 2 & 1&0&0&1& 16\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

puh! Ist das eine Schreiberei ! hoffentlich ohne Fehler !

Die Variablen stehen in der Kopfzeile. Es sind nur die Indexe notiert.

28.02.2015, 22:30

Rivago

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Hmmm okay

verwirrt

Könnte man auch so anfangen: ax, ay, bx, by, cx, cy ?

Oder muss es in der Reihenfolge sein, wie du es aufgeschrieben hast?

Wieso ist in der letzten Spalte bspw. die 8 positiv, anstatt negativ?

Wie geht es nun weiter? Als erstes eliminier ich bx dann cx, cy usw, bis ich ay hab? verwirrt

verwirrt

28.02.2015, 23:40

Dopap

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die Reihenfolge der Variablen ist natürlich egal, ebenso die Reihenfolge der Gleichungen.
Nur für den Fall, dass du das als nächstes fragen solltest.

Der Durchgehende Strich symbolisiert das Gleichheitszeichen.

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01.03.2015, 00:15

Dopap

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Zitat:

Original von Rivago

Wie geht es nun weiter? Als erstes eliminier ich bx dann cx, cy usw, bis ich ay hab? verwirrt

verwirrt

in der cx Spalte eliminierst du mit der -1 in Zeile 4

die 1 in Zeile 1 (*)
die -3 in Zeile 3
die 2 in Zeile 6

-aber immer mit den ganzen Zeile rechnen!
-------------------------------------------------------------------------
(*) kann entfallen wenn du nur Stufenform nach Gauß anstrebst.
Siehe auch:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9F-Jordan-Algorithmus

01.03.2015, 01:06

Rivago

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Sorry, aber ich kann noch nicht nachvollziehen, wie du auf die jeweiligen Vorzeichen in der Matrix kommst. Kannst du mir das noch erklären?

Wie ich dann anfangen soll, bzw was mein Ziel ist, weiß ich aber auch immer noch nicht verwirrt

verwirrt

01.03.2015, 08:43

Dopap

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RE: 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten

Zitat:

Original von Rivago

$\begin{eqnarray*} \sum F_{x1} = 0 = F_{Bx} - 8 + F_{Cx} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0 &=& F_{Bx} - 8 + F_{Cx}<br /> F_{Bx} - 8 + F_{Cx} &=& 0<br /> F_{Bx} + F_{Cx} &=& 8 \end{eqnarray*}$

das ist die übliche Schreibweise für Gleichungen in einem LGS.

01.03.2015, 11:09

Rivago

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Achso

smile

Ok das hab ich nun verstanden.

Dann eliminier ich nach und nach das das cx in allen Zeilen, danach das cy usw?

Edit: Ich glaub, ich lass mich von ax, bx, usw etwas verwirren. ^^ Ich könnte die Variablen ja auch einfach umbenennen, in x1, x2, x3, ..., x6. Glaub dann fällt es mir leichter.

01.03.2015, 13:11

Dopap

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beim Gauß-Algorithmus musst du ja nicht nach oben schauen. Big Laugh

Big Laugh

Ziel ist ja nur die Stufen-Staffelform in der ZahlenMatrix. Aber benenne um wie immer es dir beliebt.

01.03.2015, 21:04

Rivago

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RE: 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten
Ich hab jetzt mal die ersten Operationen durchgeführt, aber hab so das Gefühl, dass es falsch ist verwirrt

verwirrt

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc|c}bx & cx & cy & by & ax & ay & \\1&1&0&0&0& 0&8\\0 & 0 & -1 &1&0&0& 4\\-3 & 0 & 1.3&0&0&0 & -38 \\1 & 0 & 0&0&1&0 & 8\\0 & 0 & 1&0&0&1& 16\\-2 & 0 & 1&0&0&1& 0\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

bei bx in der Spalte hatte ich ja vorher nur Nullen, wie gewünscht. Als nächstes will ich ja bei cx nur Nullen haben (außer Zeile 1), aber dadurch krieg ich ja wieder bei bx Zahlen ungleich 0 rein verwirrt

verwirrt

01.03.2015, 21:56

Dopap

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das Ziel ist doch in der Diagonale Einsen zu erzeugen, unterhalb der Diagonalen Nullen.
=Gauß.
Erzeugt man oberhalb der Diagonalen auch Nullen = Gauß-Jordan.

Egal wie:
Spalte cx nach Position 1
Spalte by nach Position 2

jetzt hat man schon zwei Einsen in der Diagonalen.

Und dann macht man weiter bis man lauter Einsen in der Diagonalen erzeugt hat.

Ich werde das aber nicht bis zum Ende mit dir durchrechnen ( vorrechnen ). Das kann dauern...

Jetzt übe erst mal den Gauß an kleineren Matrizen bis das Prinzip klar ist:

http://de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsc...ationsverfahren

https://www.youtube.com/watch?v=DNSB9PwzwM8

und am matheboard gibt es unzählige Threads dazu.

01.03.2015, 22:03

Rivago

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An und für sich ist mir schon klar, wie das funktioniert.

Stimmt denn mein Zwischenergebnis?

01.03.2015, 22:37

Dopap

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ja, bisher richtig.

01.03.2015, 22:45

Dopap

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RE: 6 Gleichungen mit 6 Unbekannten
einen Schreibfehler ist gefunden , es muss gelten $\begin{eqnarray*} a_{66}=0 \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc|c}bx & cx & cy & by & ax & ay & \\1&1&0&0&0& 0&8\\0 & 0 & -1 &1&0&0& 4\\0 & -3 & 1.3&0&0&0 & -14 \\0 & -1 & 0&0&1&0 & 0\\0 & 0 & 1&0&0&1& 16\\0 & 2 & 1&0&0&0& 16\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

01.03.2015, 22:53

Rivago

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Wieso denn das? Ich multiplizier Zeile 1 mal (-2) und addiere sie zu Zeile 6. In der 6. Spalte muss dann eine 1 stehen, denn (-2)*0 = 0 und 0 + 1 = 1

Achso.. du meinst in der Ausgangsmatrix..

02.03.2015, 21:26

Rivago

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Kannst du mir nicht doch noch weiter helfen? unglücklich

unglücklich

Ich hab es jetzt so

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc|c}bx & cx & cy & by & ax & ay & \\1&1&0&0&0& 0&8\\0 & 0 & -1 &1&0&0& 4\\-3 & 0 & 1.3&0&0&0 & -38 \\1 & 0 & 0&0&1&0 & 8\\0 & 0 & 1&0&0&1& 16\\-2 & 0 & 1&0&0&0& 0\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber wie soll es denn nun jetzt weiter gehen? Ich krieg doch immer wieder eine Zahl ungleich 0 unterhalb der Diagonale traurig

traurig

02.03.2015, 22:54

Dopap

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Wie schon gesagt ist es (mir ) unmöglich gemeinsam an der Matrix herumzufummeln, man verliert den Überblick im ewigen Thread.

Es ist ( auch wegen $\begin{eqnarray*} a_{66}=0 \end{eqnarray*}$ ) besser von vorne anzufangen. Da die Matrix ziemlich viele Nullen enthält kann ein erster Blick auf die Matrix nichts schaden.

Die Spalte cx ist schon perfekt. Spalte by sollte an Position 2 stehen und damit haben wir schon 2 perfekte Spalten bzw. Zeilen.

in Spalte 3 sollte nun unterhalb ( oder auch zusätzlich oberhalb ) von $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ mit dem Element $\begin{eqnarray*} a_{33} \end{eqnarray*}$ Nullen erzeugt werden usw.

Wenn $\begin{eqnarray*} a_{33}=0 \end{eqnarray*}$ ist, dann macht man eine passende Zeilenvertauschung.(*)

Als nächstes wäre dann Spalte 4 mit dem Element $\begin{eqnarray*} a_{44} \end{eqnarray*}$ an der Reihe.

Das ist das Prinzip um das es geht. Rechnen musst du schon selbst.

------------------------------------------
(*) aber nur mit Zeilennummern > 3 !!!!

04.03.2015, 21:05

Rivago

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Hat sich erledigt, hab es lösen können Freude

Freude

Nach zig vollgeschmierten Blättern, bis ich mal gemerkt hab, dass die Matrix eh falsch ist und da anstatt 1,3 dann 1,5 stehen muss Big Laugh

Big Laugh

Danke

Freude

04.03.2015, 22:24

Dopap

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na wunderbar Freude

Freude

aber das ändert nicht viel.

aktuell also folgendes LGS:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\begin{array}{cccccc|c}bx & cx & cy & by & ax & ay & \\1&1&0&0&0& 0&8\\0 & 0 & -1 &1&0&0& 4\\0 & -3 & 1.5&0&0&0 & -14 \\0 & -1 & 0&0&1&0 & 0\\0 & 0 & 1&0&0&1& 16\\0 & 2 & 1&0&0&0& 16\end{array} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich habe folgende Lösung:

$\begin{eqnarray*} cy=\frac {10}{3} \quad cx=\frac {19}{3} \quad by=\frac {22}{3}\quad bx=\frac {5}{3} \quad ay=\frac {38}{3} \quad ax=\frac {19}{3} \end{eqnarray*}$

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