p-periodische Funktionen Unterraum von F(R)?

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01.03.2015, 12:02	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
p-periodische Funktionen Unterraum von F(R)? Ich soll überprüfen ob $\begin{eqnarray} U = \left\{ f \in F(\mathbb R ) \| f ist p-periodisch\right\} \end{eqnarray}$ ein Unterraum von V = F(R) ist. Ich habe erst einmal gesagt, dass der Nullvektor ein Element von U ist, und somit auch U nicht die leere Menge ist, und dass U eine Teilmenge von f ist. Jetzt weiß ich schon nicht mehr wie ich U auf Abgeschloßenheit auf Addition und Multiplikation beweisen soll. Ich weiß noch, dass eine p-periodische Funktion f folgende Eigenschaft hat: f(x + p) = f(x) Ich weiß nicht was ich dami anfangen soll.
01.03.2015, 12:09	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: p-periodische Funktionen Unterraum von F(R)? Seien $\begin{eqnarray} f,g \end{eqnarray}$ p-periodische Funktionen. Du musst dann zeigen, dass f+g eine p-periodische Funktion. Ähnlich dann noch dass für alle Skalare $\begin{eqnarray} \lambda \in \mathbb R \end{eqnarray}$ oder den komplexen Zahlen, auch $\begin{eqnarray} \lambda f \in U \end{eqnarray}$ . Beides folgt aus der punktweisen Definition der Addition und skalaren Multiplikation.
01.03.2015, 12:20	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
ja, so weit war ich auch. Aber ich bin mir nicht sicher wie ich zb zeigen soll dass f + g ein Element von U ist. Ich habe das erstmal so geschrieben f(x + p) + g(x + p) = f(x) + g(x) Damit kann ich irgendwie nichts anfangen. Was ich mir auch noch gedacht habe war eine Neudefinition Sei h Element von U wobei h = f + g ist: h(x + p) = f(x + p) + g(x + p) = f(x) + g(x) = h(x) aber darf ich das überhaupt einfach so definieren?
01.03.2015, 12:23	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Definition von der Addition ist punktweise: D.h. $\begin{eqnarray} (f + g)(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray}$ . Wenn du $\begin{eqnarray} h = f+g \end{eqnarray}$ definierst, dann ist also tatsächlich $\begin{eqnarray} h(x) = f(x) + g(x) \end{eqnarray}$ .
01.03.2015, 12:26	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Also stimmt das echt? Oder willst du damit sagen dass das formal nicht richtig ist?
01.03.2015, 12:29	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist richtig. Ich habe nur begründet, warum es richtig ist.
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01.03.2015, 14:09	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Abgeschlossenheit der Multiplikation ergibt jedoch: kf(x) = f(kx) = f(kx + p) $\begin{eqnarray} \neq \end{eqnarray}$ kf(x + p) undsomit ist U kein Unterraum von V, stimmts?
01.03.2015, 14:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du benutzt eine falsche Definition von skalerer Multipikation. Definiere $\begin{eqnarray} h = k\cdot f \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} h(x) = (kf)(x) = k\cdot f(x) \end{eqnarray}$ . Das k kommt nicht ins Argument, es skaliert nur den Funktionswert von f an der Stelle x.
01.03.2015, 14:45	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
Mhhh ich bin leicht verwirrt. Ich würde ja dann eigentlich nur schreiben: kf(x) = kf(x + p). Aber habe ich das damit wirklich bewiesen? Müsste rechts nicht f(x + p) stehen?
01.03.2015, 14:49	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist es eigentlich auch nur. Ganz ausführlich würde man wohl schreiben: $\begin{eqnarray} h(x+p) = (kf)(x+p) = k \cdot f(x+p) = k \cdot f(x) = (kf)(x) = h(x) \end{eqnarray}$ , also ist h auch p-periodisch.
01.03.2015, 14:54	goldfisch91	Auf diesen Beitrag antworten »
OK, danke. du bist mir echt ne große hilfe
01.03.2015, 14:55	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Gerne

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