Unterraum und Basis bei Polynomen

01.03.2015, 15:12

goldfisch91

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Unterraum und Basis bei Polynomen

$\begin{eqnarray*} U = \left\{ p_{n} \in P_{n} | p_{n}(x) = p_{n}(-x), n=3\right\} \end{eqnarray*}$

a) Ist U ein Unterraum von Pn ?
b) Ermitteln Sie eine Basis für U.

zu a):

pn(x) = pn(-x)
pn(x) = -pn(x)
pn(x) + pn(x) = 0
2pn(x) = 0
pn(2x) = 0

(stimmts?)

Das Nullelement ist vorhanden, der Raum ist nicht leer und ist Teilemenge von Pn

Sei pn, qn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn
z.z.: pn + qn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn
Dazu: pn(2x) + qn(2x) = 0 + 0 = o
=> pn + qn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn

Sei pn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn
z.z.: k*pn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn
Dazu = k*pn(2x) = k*0 = 0
=> k*pn $\begin{eqnarray*} \in \end{eqnarray*}$ Pn

=> U ist Unterraum von Pn

zu b):

jetzt kommt meine Frage: In meinen anderen Thread habe ich eine Aufgabe gehabt wo pn(1) angegeben ist. Das war für mich wesentlich leichter zu verstehen wie man auf die Basis kommt. Jetzt hab ich einfach gar keinen Plan wie man sich so eine Basis bei Polynomen besorgen soll.

Ich habe erstmal geschrieben:

a(2x)^3 + b(2x)^2 + c(2x) + d = 0

aufbauend auf meine Erkenntisse von a).

jetzt hab ich schon ein Problem, denn es kommt doch darauf an was für x gesetzt wird, daher weiß ich das doch gar nicht, oder? Somit kann x alles sein. Um die lineare Unabhängigkeit zu bekommen, müsste man doch nur x = 0 ausschließen? Also, vielleicht ist das total bescheuert, aber ich hätte sonst nichts mehr zu bieten Big Laugh

Big Laugh

01.03.2015, 16:01

Helferlein

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Schon der Ansatz ist leider ziemlich falsch gelaufen
$\begin{eqnarray*} p_n(x)=p_n(-x) \Rightarrow p_n(x) = -p_n(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 2p_n(x) = 0 \Rightarrow p_n(2x) = 0 \end{eqnarray*}$
sind beides falsche Schlussfolgerungen. Gegenbeispiel wäre $\begin{eqnarray*} p(x)=x^3 \end{eqnarray*}$

Für die Existenz der Nullabbildung in U brauchst Du einfach nur die Definition der Menge überprüfen. Gilt für $\begin{eqnarray*} p(x)=0~\forall~x \end{eqnarray*}$ die Aussage $\begin{eqnarray*} p(x)=p(-x) ? \end{eqnarray*}$
Danach musst Du zwei beliebige Elemente der Menge addieren bzw. mit einem Skalar multiplizieren und nachweisen/widerlegen, dass das Ergebnis wieder in der Menge liegt, also ein Polynom bildet, das achsensymmetrisch ist.

01.03.2015, 16:19

goldfisch91

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Ich habe die Polynome mal ausgeschrieben:

ax^3 + bx^2 + cx + d = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d

ich sehe da jetzt keinen großen Argumentationsspielraum. Ich setze einfach a = b = c = d = 0 und habe damit doch gezeigt, dass der Nullvektor existiert? Ist wahrscheinlich falsch, aber ich weiß einfach nicht wie ichd as beweisen soll.

01.03.2015, 16:36

Helferlein

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Naja, das ist sicher eine Möglichkeit, aber einfacher ist es doch wohl zu sagen, dass für $\begin{eqnarray*} p(x)=0 \forall~x \end{eqnarray*}$ "trivialer Weise" auch p(-x)=0 gilt (Denn es ist ja für jedes beliebige x Null). Somit ist also p(x)=0 in U.

02.03.2015, 12:30

goldfisch91

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OK. Um die Basis zu ermitteln habe ich dann folgendes gemacht:

ax^3 + bx^2 + cx + d = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d
ax^3 + bx^2 + cx + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d
2ax^3 + 2cx = 0

Daraus würde ich dann schließen, dass { 2x^3, 2x } die Basis von U ist, oder?

02.03.2015, 12:57

klarsoweit

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Du hast anscheinend noch immer nicht verstanden, aus welchen Polynomen dein Unterraum besteht. Wenn wir mal p(x) = 2x nehmen (soll ja angeblich sogar ein Basisvektor sein), ist dafür p(x) = p(-x) für alle x?

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02.03.2015, 13:09

goldfisch91

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Anscheinend ja nicht. Hätte jetzt aber sonst keine Idee wie man das sonst machen würde.

02.03.2015, 13:38

klarsoweit

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Zitat:

Original von goldfisch91
ax^3 + bx^2 + cx + d = a(-x)^3 + b(-x)^2 + c(-x) + d
ax^3 + bx^2 + cx + d = -ax^3 + bx^2 - cx + d
2ax^3 + 2cx = 0

Prinzipiell ist gegen diesen Weg nichts einzuwenden, allerdings ziehst du dann eine falsche Schlußfolgerung. Wenn 2ax^3 + 2cx = 0 sein soll für alle x, was kann man dann für a und c folgern?

02.03.2015, 13:50

goldfisch91

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Dass a und c beliebig sein können?

02.03.2015, 13:58

klarsoweit

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Und wie soll es dann gelingen, daß die Gleichung erfüllt wird?

02.03.2015, 14:04

goldfisch91

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Das müsste eigentlich andersrum sein, ne? Also x ist ja beliebig, und somit kann (logischerweise) a und c nicht beliebig sein, da sonst die Gleichung nicht erfüllt wäre. Mir würde jetzt nur einfallen, dass dann -ax^2 = c sein muss zb. Das könnte ich dann verwenden um das Polynom zu verkleinern, oder?

02.03.2015, 14:12

klarsoweit

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Oh je, das scheint ja wirklich schwer zu sein. 2ax^3 + 2cx stellt doch nichts anderes, als ein Polynom dar. Und dieses Polynom soll überall Null sein. Welche Koeffizienten hat nun ein Polynom, das überall Null ist?

02.03.2015, 14:24

goldfisch91

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Dann muss a = c = 0 gelten.

02.03.2015, 14:26

klarsoweit

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Heureka! Nun kannst du wieder zur Frage zurückkehren, wie eine mögliche Basis aussieht.

02.03.2015, 14:45

goldfisch91

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{x^2, 1}

02.03.2015, 14:54

klarsoweit

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Genau.

Rock

02.03.2015, 15:01

goldfisch91

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Dann ist erstmal alles klar soweit, klarsoweit! Freude

Freude

Danke!

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