F8* zyklisch

01.03.2015, 19:22

Ben Toasty

F8* zyklisch

Guten Abend,
ich sitze momentan an einer glaube ich nicht so schweren Aufgabe aber irgendwie stehe ich auf dem Schlauch unglücklich

Zeigen Sie dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{8}^{*} \end{eqnarray*}$ zyklisch ist, indem sie einen Erzeuger angeben.
Meine Idee war es nun einfach einmal $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{8}^{*} \end{eqnarray*}$ aufzuschreiben. Also:
$\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{8}=\{0,1,2,3,4,5,6,7\} \Rightarrow \mathbb{F}_{8}^{*}=\{1,3,5,7\} \end{eqnarray*}$ . Es gilt ja nun, dass alle Elemente modulo 8 selbstinvers sind, also Ordung 2 haben, sodass die Gruppe ja isomorph zur kleinschen Vierergruppe ist und nicht zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/4\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , also insbesondere nicht zyklisch. Irgendwas habe ich wohl falsch verstanden unglücklich

Vielen Dank schonmal.

Viele Grüße

Ben

01.03.2015, 19:37

bijektion

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Sollst du nicht eher zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_8^* \end{eqnarray*}$ nicht zyklisch ist? Du hast nämlich recht mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_8^*\cong \mathbb{Z}_2\oplus\mathbb{Z}_2 \end{eqnarray*}$ .

01.03.2015, 19:41

Captain Kirk

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Hier ist nach $\begin{eqnarray*} \mathbb F_8 \end{eqnarray*}$ gefragt.
Ihr rechnet beide mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z /8\mathbb Z \end{eqnarray*}$ .

Es ist $\begin{eqnarray*} \mathbb F_q = \mathbb Z /q \mathbb Z \end{eqnarray*}$ nur für q prim.

01.03.2015, 19:46

Ben Toasty

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Okay dankeschön. Wie genau würde der Körper dann aussehen? verwirrt

vielen dank für die schnelle Antwort

01.03.2015, 19:50

Captain Kirk

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so z.B. $\begin{eqnarray*} \mathbb F_2[X]/(X^3+X+1) \end{eqnarray*}$

01.03.2015, 19:59

Ben Toasty

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Klar, stimmt $\begin{eqnarray*} f=(X^3+X+1) \end{eqnarray*}$ ist irreduzibel über $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray*}$ und daher haben wir 3 Basiselemente für die Körpererweiterung und weil $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2} \end{eqnarray*}$ 2 Elemente hat also $\begin{eqnarray*} 2^3 \end{eqnarray*}$ Elemente im Körper. Ok das heißt es gilt: $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{2}/(f) =\{0+(f),1+(f),x+(f),x+1+(f),x^2+1+(f),x^2+x+1+(f),x^2+x+(f),x^2+(f)\} \end{eqnarray*}$ , oder habe ich was durcheinander gebracht?

01.03.2015, 20:06

Captain Kirk

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Im Wesentlichen passt das.

01.03.2015, 20:15

Ben Toasty

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jetzt ist ja die Frage nach $\begin{eqnarray*} \mathbb{F}_{8}^{*} \end{eqnarray*}$ , also müssen alle Polynome raus, die kein multiplikatives Inverses besitzen. Gibt es dafür einen Trick oder müsste ich jetzt alle Polynome auf inversen kontrollieren, z.B. mit euklidischer Algorithmus?

01.03.2015, 20:19

Captain Kirk

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[quote] also müssen alle Polynome raus, die kein multiplikatives Inverses besitzen.[\quote]
Die Frage ist eigentlich schon falsch. Wie die Körperelemente dargestellt werden ist relativ egal und schickt dich wohl in die falsche Richtung.
Es ist ein Körper.

01.03.2015, 20:24

Ben Toasty

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Im Körper besitzen alle Elemente außer die 0 ein multiplikatives Inverses, stimmt. Also muss jetzt ein Erzeuger von
$\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{2}/(f))^{*} =\{1+(f),x+(f),x+1+(f),x^2+1+(f),x^2+x+1+(f),x^2+x+(f),x^2+(f)\} \end{eqnarray*}$ angegeben werden?

01.03.2015, 20:31

Captain Kirk

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Ja, sagt zumindest deine Aufgabenstellung.

Und bitte beim nächsten mal das [X] nicht wieder vergessen.

01.03.2015, 20:36

Ben Toasty

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dann suche ich jetzt ein Element der Ordnung 7 aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{2}[X]/(f))^{*} \end{eqnarray*}$ . Vielen Dank, das hat mir sehr geholfen smile

02.03.2015, 23:59

RavenOnJ

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Zitat:

Original von Ben Toasty
Ok smile

dann suche ich jetzt ein Element der Ordnung 7 aus $\begin{eqnarray*} (\mathbb{F}_{2}[X]/(f))^{*} \end{eqnarray*}$ .

Zum Begriff "suchen": Die Gruppe hat Ordnung 7. Wieviele Elemente der Ordnung 7 hat sie also?

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